三点共线问题的一个重要结论及应用

个人收集整理仅供参考学习1/4三点共线问题的一个重要结论及应用一．命题及证明命题已知非零向量OA、OP、OB满足OPmOAnOB，若1mn(mnR，，0)mn且，则点A、P、B共线，且P分AB所成的比为mn．证明：∵OPmOAnOB，1nm，0mn，∴1nOPOAOBmm，∴mnnOPOAOBmm，∴()nOPOAOBOPm，即nAPPBm．∴点A、P、B共线，且P分AB所成的比为mn．下面思考其逆命题，即逆命题若点A、P、B共线，且P分AB所成的比为，则有且只有一对非零实数mn，，使得OPmOAnOB，且1nm（O为平面上不同于A、P、B的一点）．文档来自于网络搜索证明：∵点A、P、B共线，设01APPB（且），∴()OPOAOBOP，∴1OPOAOB，∴111OPOAOB．令111mn，，则有OPmOAnOB，且1nm，mn．于是，综上可得结论三点A、P、B共线的充要条件是存在实数mn、满足1nm，且使得OPmOAnOB．（O为平面上不同于A、P、B的一点）．特别地，当12mn时，1()2OPOAOB，点P是线段AB的中点；当0m或0n时，点P与点B或A重合．二．结论的应用例１．（1）已知点Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，Ｏ在直线ＡＢ外，设,,OAaOBbOCc，且存在实数m使30mabc，则点Ａ分BC所成的比为（）Ａ．3Ｂ．－3Ｃ．31Ｄ．31解：∵30mabc，∴133mOBOAOC．个人收集整理仅供参考学习2/4∵点Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，∴1133m，2m．∴3122OAOBOC，∴点Ａ分BC所成的比为131():223．故选Ｄ．（2）已知如图1，,,OAaOBbOCc，点Ｃ为线段ＡＢ的距Ａ较近的一个三等分点，点Ｄ为线段ＢＣ的距Ｃ较近的一个三等分点，则OD（）文档来自于网络搜索Ａ．1(45)9abＢ．1(97)16abＣ．1(2)3abＤ．1(3)4ab解：由题意知：2133OCOAOB，2133ODOCOB．∴2211421451()(45)3333993999ODOAOBOBabbabab．故选Ａ．点评：根据结论不难得出，只要给出线段AB的任一分点P，都可以利用向量a、b表示OP，此方法回避了通过向量的加减运算来转化的繁琐过程，显得十分简捷．文档来自于网络搜索例2．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知(3,1)A、(1,3)B，若点Ｃ满足OCOAOB，其中1，且、R，则点Ｃ的轨迹方程为（）．Ａ．01123yxＢ．5)2()1(22yxＣ．02yxＤ．052yx(2002年全国新课程高考卷)解：因1，由结论可得点A、Ｃ、B共线，所以点C在直线AB上运动，故点C的轨迹为直线AB，由(3,1)A、(1,3)B得轨迹方程为052yx．故选Ｄ．文档来自于网络搜索点评：根据本文结论的特殊情况及轨迹的完备性，可知点C的轨迹是直线AB．例3．如图2，平行四边形ABCD中，14BEBA，15BFBD，求证：E、F、C三点共线．分析：根据题目条件，只需寻找BE、BF、BC的关系即可．证明：∵BABCBD，14BEBA，15BFBD．∴54BFBCBE，∴4155BFBEBC，所以点E、F、C三点共线．ABCDEF2图OBDCA1图个人收集整理仅供参考学习3/4例4．如图3，过抛物线24xy的对称轴上任一点0,0Pmm作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点，设点P分有向线段AB所成的比为．文档来自于网络搜索求证：()QPQAQB．（2004年湖南卷）证明：因为点Ｐ分分有向线段AB所成的比为，则必然存在实数、，使QPQAQB，且1．∵点Ａ、Ｂ在抛物线24xy上，点Q是点P关于原点的对称点，∴设221212(,),(,),(0,)44xxAxBxQm，∴221212,,,44xxQAxmQBxm．图3则221212(0,2)(,)(,)44xxQPmxmxm221212(,())44xxxxm)44,(222121mxxxx．所以1222120,.44xxxxm①②显然有()()()QPQAQBQAQBQAQB22221()QAQB．故只需证明22220QAQB即可．而2222QAQB=2222222121244xxxmxm22222222121244xxxxmm222212121212()()04444xxxxxxxxmm∴()QPQAQB．点评：本解法运用了结论的坐标形式，充分利用向量的知识解决解析几何问题，打破了利用直线与圆个人收集整理仅供参考学习4/4锥曲线位置关系进行转化的传统模式，体现了向量与解析的内在联系．另外，设而不求、整体代换等基本方法使得解题思路更加清晰、条理化．文档来自于网络搜索