拉普拉斯变换与Z变换及信号系统的复频域分析

大连理工大学1第3章拉普拉斯变换与z变换及信号系统的复频域分析大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2015年10月内容概要•§3.1引言•§3.2拉普拉斯变换•§3.3连续时间信号与系统的复频域分析•§3.4z变换•§3.5离散时间信号与系统的复频域分析大连理工大学2大连理工大学3§3.1引言2020/4/27大连理工大学4•上一章系统介绍了傅里叶理论，对应的信号与系统分析称为频域分析；•本章系统介绍拉普拉斯变换和z变换，对应的信号与系统分析称为复频域分析。•复频域的概念：–对于连续时间信号与系统，经由拉普拉斯变换，有–对于离散时间信号与系统，经由z变换，有jsjezr大连理工大学42020/4/27大连理工大学5•我们将会看到：•拉普拉斯变换和z变换都有很多有用的性质，它们提供了许多不能应用傅里叶变换的分析方法。–例如，在傅里叶变换中，若信号在所关注的区间是无界的，则其傅里叶变换是不收敛或不存在的。–但是，对于拉普拉斯变换来说，可以通过适当选择收敛区域而使在频域傅里叶变换不收敛的信号在s域收敛，以便进行进一步的分析处理。–因此在某种意义上来说，信号与系统的复频域分析是一种比傅里叶分析范围更为广泛的有用工具。大连理工大学5大连理工大学6§3.1拉普拉斯变换3.2.1拉普拉斯变换的定义•概述–拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又称为拉氏变换。–拉普拉斯变换是一种线性变换，在电子信息技术领域，拉普拉斯变换的作用是将连续时间信号与系统由时间域变换到以为自变量的复频域，从而实现对信号与系统的分析与简化处理。s大连理工大学72020/4/27大连理工大学8•（1）拉普拉斯变换的定义–定义：–其中：为复变量。–记为：–讨论：–即拉普拉斯变换退化为傅里叶变换。()()ed1()()ed2πjstjstjXsxttxtXssjs[()](),()()xtXsxtXs或Lj0,j,()(j)()edtsXsXxtt若即则()(j)(j)()XsXXXs是的推广；是的特例。大连理工大学82020/4/27大连理工大学9•（2）根据定义的计算•【例3.1】–已知：•【解】()e(),0,(j)()atxtutaXXs求和jj01(j)e()edeed,0jattattXutttaa0()j0()e()edeedee,(j)atstatstattXsutttdts110,()0,()jaXsaXsasa若则；若则不存在大连理工大学9Re[]sa2020/4/27大连理工大学10•【例3.2】–已知：•【解】()e(),0,()atxtutaXs求00()()e()edeeded,(j)atstatstastXsutttts10(Re[]),()0,()asaXssaaXs若则；若则不存在大连理工大学10Re[]sa2020/4/27大连理工大学11•（3）拉普拉斯变换的收敛域–收敛域（ROC）：是能够使拉普拉斯变换收敛的s的取值范围。ROC：Re[]saROC：Re[]saIm[]sRe[]sIm[]sRe[]saas平面s平面大连理工大学113.2.2拉普拉斯变换收敛域的性质•性质3.1：的ROC由s平面上平行于轴的带状区域组成。•性质3.2：对有理Laplace变换来说，ROC内不包括极点。•性质3.3：若是有限时宽的，且绝对可积，则ROC为整个s平面。•性质3.4：有理拉普拉斯变换的ROC由极点界定，或延伸到无穷。•性质3.5：有理右边信号的ROC位于最右边极点的右边，有理左边信号的ROC位于最左边极点的左边。()Xsj()xt大连理工大学12收敛域性质补充•性质A1：若为右边信号，且若位于ROC内，则的全部s值一定在ROC内。•性质A2：若为左边信号，且若位于ROC内，则的全部s值一定在ROC内。()xt0Res0Res()xt0Res0Res大连理工大学132020/4/27大连理工大学14•拉普拉斯变换计算举例•【例3.3】大连理工大学143.2.3拉普拉斯逆变换•拉普拉斯逆变换式jj1()()ed2jstxtXss大连理工大学152020/4/27大连理工大学16•（1）拉普拉斯逆变换的部分分式法•适用范围：有理分式拉普拉斯变换式•基本方法：将拉普拉斯变换式进行部分分式展开：•上式中的每一项均为一阶系统，每一项均有两种可能：–若ROC位于极点的右边，则：–若ROC位于极点的左边，则：11()()mmiiiiiAXsXssaisa()e()iatiixtAut()e()iatiixtAutisa1()()miixtxt大连理工大学162020/4/27大连理工大学17•计算举例•【例3.4】–已知：，求。•【解】–部分分式分解：–求出–由于收敛域在极点右边，故为右边信号：1(),Re1(1)(2)Xssss()xt1()(1)(2)12ABXsssss1,1AB11(),Re112Xssss2()e()e()ttxtutut大连理工大学172020/4/27大连理工大学18•【例3.4-1】–已知：•【解】–部分分式分解：–因ROC在极点左边，故为左边信号。反变换得：1(),Re2(1)(2)Xssss11(),Re{}212Xssss2()ee()ttxtut大连理工大学182020/4/27大连理工大学19•【例3.4-2】–已知：•【解】–部分分式分解：–因ROC在第一项极点的左边，故该项为左边信号。–因ROC在第二项极点的右边，故该项为右边信号。11(),2Re{}112Xssss1(),2Re1(1)(2)Xssss2()e()e()ttxtutut大连理工大学192020/4/27大连理工大学20•【例3.5】大连理工大学202020/4/27大连理工大学21•（2）拉普拉斯逆变换的留数法–对于因果信号，由复变函数中的留数定理，有–上式左边的曲线积分是在s平面内沿一不通过极点的闭合曲线（称为围线）上进行的。–右边表示围线中各极点上留数之和。–要利用留数定理来计算拉普拉斯逆变换，需要在上式的积分线上补充一条积分路径以构成一条封闭曲线。1()edRes2jstiCiXss()XsjABC大连理工大学212020/4/27大连理工大学22•留数法的应用–设为有理函数，则：–一阶极点的留数为：–k阶极点的留数为：–留数法除了可以处理有理拉普拉斯变换式之外，还可以处理无理拉普拉斯变换式，因此适用范围更广。()XsispRes[()()e]istiispspXs111dRes()()e(1)!dikkstiikspspXsks大连理工大学222020/4/27大连理工大学23•【例3.6】大连理工大学23k2020/4/27大连理工大学24•【线性性质】–若：–则：•【时移性质】–若：–则：111222()(),ROC:;()(),ROC:xtXsRxtXsR121212()()()(),ROC:axtbxtaXsbXsRR包括()()ROC:xtXsR，00()e()ROC:stxttXsR，3.2.4拉普拉斯变换的性质大连理工大学242020/4/27大连理工大学25•【频移性质】–若：–则：•【时域尺度变换】–若：–则：0010e()()ROC:Re{}stxtXssRRs，11()ROC:sRxatXRaaa，()()ROC:xtXsR，()()ROC:xtXsR，大连理工大学252020/4/27大连理工大学26•【共轭性质】–若：–则：–若：，则•【卷积性质】–若：–则：*()**ROC:xtXsR，111222()(),ROC:;()(),ROC:xtXsRxtXsR121212()*()()()ROC:xtxtXsXsRR，包括()*()xtxt()*(*)XsXs()()ROC:xtXsR，大连理工大学262020/4/27大连理工大学27•【时域微分性质】–若：–则：•【频域微分性质】–若：–则：d()()ROC:dxtsXsRt，包括d()()ROC:dXstxtRs，()()ROC:xtXsR，()()ROC:xtXsR，大连理工大学272020/4/27大连理工大学28•【时域积分性质】–若：–则：•【初值定理与终值定理】–对于因果信号，若：–则初值定理：–终值定理：1()d(),ROC:{Re[]0}txXsRss包括()xt()()ROC:xtXsR，()()ROC:xtXsR，(0)lim()sxsXs0lim()lim()tsxtsXs大连理工大学282020/4/27大连理工大学29•计算举例•【例5.6】–已知：•【解】–解得：–利用初值定理检验求解是否有误。由初值定理：–另一方面，–二者相同，未发现错误。2()e()(cos3)()ttxtutetut2322512()41420ssXssss2322512(0)lim()lim241420sssssxsXssss0()=1+1=2txt大连理工大学292020/4/27大连理工大学30•拉普拉斯变换性质清单大连理工大学302020/4/27大连理工大学31•常用拉普拉斯变换对大连理工大学312020/4/27大连理工大学32•常用拉普拉斯变换对（续）大连理工大学322020/4/27大连理工大学33§3.3连续时间信号与系统的复频域分析大连理工大学332020/4/27大连理工大学34•拉普拉斯变换与傅里叶变换的比较–拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，或者说傅里叶变换是拉普拉斯变换当的特例；–傅里叶变换比较适合分析信号与系统的频率特性；–拉普拉斯变换除了可以用于分析信号与系统频率方面的问题外，更多的是用于求解线性系统时域微分方程，对系统进行因果性和稳定性分析，并且更方便地将信号与系统用方框图或信号流图的方式表示出来。–本节重点介绍拉普拉斯变换用于LTI系统的分析问题，同时简单介绍单边拉普拉斯变换（unilateralLaplacetransform）及其应用。0大连理工大学343.3.1微分方程的拉氏变换与系统函数•LTI系统用线性常系数微分方程来表示：–系统函数定义为：00d()d()ddkkNMkkkkkkytxtabtt00()()NMkkkkkkasYsbsXs00()()()MkkkNkkkbsYsHsXsas大连理工大学352020/4/27大连理工大学36•系统函数的含义–一个由线性常系数微分方程所表示的系统，其系统函数总是有理的。此外：•第一，系统的零点和极点可以分别通过令上式的分子为0和分母为0而得到。由系统的零点和极点以及系统的ROC，可以进一步分析系统的因果性、稳定性等性质。•第二，上式反映了LTI系统输入信号、输出信号与系统函数的关系。由上式，可以得到：•第三，如果在中令（或令），则可以得到系统的频率响应（或称为传递函数），并可以由此进一步分析系统的频率特性。大连理工大学36()()()YsHsXs00()()()MkkkNkkkbsYsHsXsas()Hs0js(j)H2020/4/27大连理工大学37•【例3.8】大连理