4-连续信号的离散化与离散信号的连续化

2020/4/27大连理工大学1第4章连续信号的离散化与离散信号的连续化大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2015年10月内容概要•§4.1引言•§4.2连续时间信号的采样与采样定理•§4.3离散时间信号的插值与拟合2020/4/27大连理工大学3§4.1引言2020/4/27大连理工大学4•（1）从通信问题说起–基本通信系统原理框图：–以电话通信为例说明上述通信系统：•如图所示，来自信源（source）的语音信号，经过麦克风转变为电信号，再经过发送设备（transmiter）进行采样、编码、调制、放大后进行发射，通过传输信道（channel）传播到接收设备（receiver），再进行与发送设备相反的处理，例如解调、解码、波形恢复等处理，提供给收信者即信宿（sink），从而实现信源与信宿的信息交流与沟通。信源发送设备信道接收设备信宿噪声源2020/4/27大连理工大学5•连续时间信号的离散化–在发送端，系统将连续时间的信源发出的连续时间语音信号转变为离散时间信号或数字信号（digitalsignal）；•离散时间信号的连续化–在接收端，系统再将数字信号转变为连续时间信号，即还原为语音信号，提供给受话者。•计算机应用–须将温度、压力、声音、振动、自然影像以及人体的心电、脑电、肌电信号等转换为离散时间信号或数字信号成为一种必然的选择。2020/4/27大连理工大学6•问题：•连续时间信号离散化后信息是否丢失？•如何进行离散化与连续化？•以上两个问题是本章要研究和回答的问题。大连理工大学7§4.2连续时间信号的采样与采样定理4.2.1理想采样与采样定理•为什么要进行采样？–对连续时间信号进行采样，变换为离散时间信号，便于数字信号处理和计算机处理。–即：大连理工大学8()xt()xn()()xtxn2020/4/27大连理工大学9•（1）单位冲激序列–单位冲激序列及其频谱()()npttnTs222(j)kkkPkTTT(j)P()ptT1T2T3T2T3Tt2/Ts0ss2s202020/4/27大连理工大学10•（2）冲激序列采样过程：连续时间信号；：单位冲激序列；：采样后信号；：采样周期；––：采样频率()xt()pxt()ptT2sT()()()pxtxtpt()()()pnxtxnTtnT2020/4/27大连理工大学11•（3）采样过程的频域分析–采样后信号：––由FT的乘法性质，有–上式中：–()()(),()()pnxtxtptpttnT其中1jj*j2πpXXP2πj()skPkTj*jssXX2020/4/27大连理工大学12•2.采样过程的频域分析（续）–上式说明：–。–是一个关于的周期性频谱。–相对于幅度变为。112πjj*jj*()22π11j*()()psksskkXXPXkTXkXjkTTjjpXX包含jXjpXjpXjX1/T2020/4/27大连理工大学13•频谱混叠问题–若，则不混叠；–若，则混叠。–其中：为信号中的最高频谱分量。2sM2sMM2020/4/27大连理工大学14•（4）采样定理–设为一个带限信号，满足。若满足–则可以被采样后信号唯一地恢复。–在工程应用中，通常取xtxt()0,1,2,xnnj0,()MX2sMsM(5~10)2020/4/27大连理工大学15•（5）理想采样的信号恢复–上图：理想冲激序列采样系统；–(a)采样后信号的频谱；–(b)低通滤波器频率特性；–(c)取出原信号的频谱(j)H()xt()pxt()pt()rxt0MMsM()(j)pX(c)MM(j)X1(a)cc(j)HT(b)00......2020/4/27大连理工大学16•（6）混叠与抗混叠预滤波–在实际工程应用中，必须特别注意频率混叠问题。–频率混叠一旦出现，信号必然出现失真，无论采用什么方法再进行后处理，都不能无失真地恢复原始连续时间信号。–常用的方法：预滤波。即利用一个低通滤波器，使滤波器的截止频率等于想要保留的信号的最高频率分量，而将高于这个最高频率分量的所有频率成分滤除。–这样做看起来会丢失一定的信息，但是实际上对信号采样的总体结果来说，由于避免了信号的频率混叠，一般要比丢失一定的频率成分更有利。4.2.2零阶保持采样•（1）零阶保持的概念–所谓零阶保持技术，就是利用零阶滤波器将连续时间信号转变为阶梯状信号。–零阶保持滤波器：大连理工大学17tt0()xt0()xt()xt()xt零阶保持t010()htT2020/4/27大连理工大学18•（2）零阶保持采样–零阶保持采样系统：–零阶保持采样系统实质上是一个单位冲激序列采样系统与一个零阶保持滤波器的级联。0()ht()xt()pxt()pt0()xtt010()htT2020/4/27大连理工大学19•零阶保持采样系统•说明：•系统前端为一理想冲激序列采样系统；•系统后端级联一个零阶保持系统，即平滑滤波器；•连续时间信号经理想冲激序列采样后，再经平滑滤波器保持。2020/4/27大连理工大学20•（3）零阶保持采样的信号恢复–零阶保持采样的信号恢复–若虚线框中的为理想低通滤波器，则可无失真恢复原始信号。–为已知的零阶保持滤波器，关键是要设计重构滤波器，满足0()ht()xt()pxt()pt0()xt()rt()rht(j)H(j)H0()ht()rht0(j)(j)(j)rHHH2020/4/27大连理工大学21–零阶保持滤波器的传递函数：–则重构滤波器的传递函数–只要根据采样频率设计重建滤波器合理的截止频率，就可以无失真地恢复原始信号。j/202sin()/2(j)eTTHj/20(j)e(j)(j)2sin()/2(j)TrHHHTHs2020/4/27大连理工大学22§4.3离散时间信号的插值与拟合4.3.1离散时间信号的插值•（1）信号插值的概念与分类–所谓信号的插值（interpolation），是指在离散时间信号（或称为数据）样本点的基础上补充连续曲线，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点，进而估算出曲线在其他点处的近似值。插值是离散函数逼近的重要方法，也是离散时间信号连续化的一种常用的重要手段。–常用的插值方法：多项式插值、埃尔米特插值、分段插值与样条插值、三角函数插值等。大连理工大学232020/4/27大连理工大学24•（2）ILPF的带限内插与信号重建–考虑理想采样问题–实际上，上式表示了如何将的样本经由理想低通滤波器而插值为一条连续时间曲线。–考虑理想低通滤波器的传递函数，有内插公式(j)H()xt()pxt()pt()rxt()()()rpxtxtht()()()rnxtxnThtnT()xt()xnT()htcccsin[()]()()()rnTtnTxtxnTtnT2020/4/27大连理工大学25•理想冲激序列采样的时域分析–图中，–则–上式体现了样本点（离散）如何拟合为一条连续的曲线，为内插公式。()()*()rpxtxtht()()()()()npnpttnTxtxnTtnT()()()()()rpnnxtxnThtnTxnThtnT2020/4/27大连理工大学26•时域分析–若采用理想低通滤波器，有：–所以有内插公式–上式体现了样本点（离散）如何拟合为一条连续的曲线，为内插公式。sin()()cccTThtTsin[()]()()()ccrncTtnTxtxnttnT2020/4/27大连理工大学27•（3）拉格朗日插值–设一系列实验数据（可以看作离散时间信号）––需找一个函数，满足–设法知道对应于的其它值，需要插值。–拉格朗日插值多项式：(,),0,1,,iixyiNxy00()(),0,1,,()NNjNiijijjixxpxyiNxx00()(),0,1,,()NNjNiijijjittptxiNtt()yfx()iiyfx2020/4/27大连理工大学28•【拉格朗日线性插值】–已知的两点，，在上式中取––显然，上式为已知两点的线性方程，如图：()yfx0011,,xyxy和1N101010100011010()=()xxxxyypxyyyxxxxxxxx2020/4/27大连理工大学29•【拉格朗日二次（抛物线）插值】–已知的三个基点，，–在上式中取，则：–()yfx001122,,,xyxyxy，和2N1202012012010210122021()xxxxxxxxxxxxpxyyyxxxxxxxxxxxx2020/4/27大连理工大学30•【例4.1】–已知，在区间[2,4]内插值。取三个基点：(2,0.5),(2.5,0.4),(4,0.25)。–求二次插值。•【解】–插值效果与误差:为相对误差。()1/yfxx22()0.050.4251.15pxxx2()()100%()pxfxfx2020/4/27大连理工大学31•（4）样条插值–插值的基点较多时，用一个高阶的多项式效果不好，可考虑分段插值。–分段插值会引起区间交界处导数不连续，因而出现样条插值。–样条插值的概念：•通过两个基点的直线只有一条，但过这两点的三阶多项式有无穷多条。•只有当三阶多项式在上述两点处的一阶和二阶导数都有明确规定的情况下，该多项式才是唯一的。2020/4/27大连理工大学32•三次样条函数的定义–在平面上给出个有序的数据点：–式中，，若函数满足下列条件，则称是关于上述有序数据序列的三次样条插值函数：–（1）在每一个小区间上，记为，是的三阶多项式。–（2）–（3）和在区间内连续。Oxy1n0011,,,,,,nnxyxyxy01naxxxb()Sx()Sx1[,]iixx()Sx()iSxx(),0,1,2,,iiiSxyin[,]ab''()Sx'()Sx2020/4/27大连理工大学33•说明：–条件（1）说明多个小区间上的表达式不同，共有个。–条件（2）说明通过所有个已知数据点，但对其一阶和二阶导数没有限定。–条件（3）规定是二阶连续的。–根据以上三个条件和边界条件，可以求解得到。()SxN()iSx1N()Sx()Sx()Sx2020/4/27大连理工大学34•三次样条插值的MATLAB实现–程序见书稿0551015202530(a)时间t幅度线性插值0551015202530(b)时间t幅度样条插值4.3.2离散时间信号的拟合•（1）数据拟合的概念–插值函数必须严格通过所有给定的数据点，即基点，当这些点误差较小时，这种方法是合理有效的。–更为合理的做法是寻找一条曲线，并不要求该曲线严格通过所有基点，但所有基点都与该曲线相当贴近。这样的曲线称为拟合曲线，而求拟合曲线的过程称为离散信号或数据的曲线拟合。大连理工大学352020/4/27大连理工大学36•信号拟合•【意义】–将离散信号与数据用一个代数式描述，便于发现规律。–是离散信号连续化的一种方法。•【拟合与插值的区别】–插值要求所得函数必须通过基点。–拟合不要求曲线过所有的