6-数字滤波器与数字滤波器设计

2020/4/27大连理工大学1第6章数字滤波器与数字滤波器设计大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2015年11月内容概要•§6.1引言•§6.2数字滤波器结构的表示方法•§6.3无限冲激响应（IIR）数字滤波器•§6.4有限冲激响应（FIR）数字滤波器•§6.5数字滤波器的格型结构•§6.6IIR数字滤波器的设计•§6.7FIR数字滤波器的设计2020/4/27大连理工大学3§6.1引言2020/4/27大连理工大学4•1.数字滤波器的概念–数字滤波器（digitalfilter）是一个离散时间系统，通常它按照预定的算法，将输入的离散时间信号（discretetimesignal）或称为数字信号（digitalsignal）转换为所要求的输出离散时间信号或数字信号。–在数字滤波器处理模拟信号（analogsignal）或连续时间信号（continuoustimesignal）时，首先须对输入模拟信号进行限带、采样和模数（A/D）转换，须满足采样频率大于信号中最高频率分量2倍的条件。在对信号进行数字处理后，若需要得到模拟输出信号，还需对数字信号进行数模（D/A）转换或平滑等处理。2020/4/27大连理工大学5•数字滤波器的概特点–相对于模拟滤波器而言，数字滤波器具有精度高、可靠性高、灵活性高、可程序控制调整、便于集成等显著优点。–在语音、图像、雷达、声纳、工业过程检测控制和生物医学信号处理以及其它许多领域都得到广泛的应用。待处理模拟信号待处理数字信号处理后数字信号处理后模拟信号A/D转换器数字滤波器D/A转换器()yt()yn()xn()xt2020/4/27大连理工大学6•（1）按频谱特性分–低通滤波器（low-passfilter，LPF）；–高通滤波器（high-passfilter，HPF）；–带通滤波器（band-passfilter，BPF）；–带阻滤波器（band-stopfilter，BSF）；–全通滤波器（all-passfilter，APF）6.1.1数字滤波器的分类2020/4/27大连理工大学70|(j)|H0|(j)|H0|(j)|H0|(j)|H0|(j)|Hcccc1c1c1c1c2c2c2c2c022j|(e)|H022j|(e)|H022j|(e)|H022j|(e)|H022j|(e)|Hcccc1c1c2c2c1c1c2c2cLPFHPFBPFBSFAPF低通高通带通带阻全通2020/4/27大连理工大学8•（2）按单位冲激响应分–若满足–则称为有限冲激响应（FIR）滤波器；–反之，则称为无限冲激响应（IIR）滤波器01()()()1MkkkNkkkbzYzHzXzaz10()()()NMkkkkynaynkbxnk0,1,2,,kakN2020/4/27大连理工大学9•数字滤波器的设计的实质：是用一个因果稳定的离散时间线性时不变系统的传递函数去逼近滤波器的性能要求。•IIR数字滤波器的设计方法：–利用成熟的模拟滤波器的设计方法；–先根据给定滤波器的技术指标选用相应的模拟滤波器；–再采用某种变换方法，将模拟滤波器转变为数字滤波器。•FIR数字滤波器的设计方法：–根据给定的频率特性进行直接设计;–常用的方法包括窗函数设计法、频率抽样法和切比雪夫逼近法等.。6.1.2数字滤波器的设计2020/4/27大连理工大学10§6.2数字滤波器结构的表示方法2020/4/27大连理工大学11•差分方程一般形式•举例：•FIR滤波器的差分方程与卷积6.2.1差分方程表示法10()()()NMkkkkynaynkbxnk()1.01(1)()ynynxn0()()Mkkynbxnk0()()()Mkynhkxnk2020/4/27大连理工大学12•系统函数的一般形式•对于FIR滤波器：6.2.2系统函数表示法01()()()1MkkkNkkkbzYzHzXzaz0()MkkkHzbz0()()MnnHzhnz2020/4/27大连理工大学136.2.3系统方框图与信号流图表示法1z1zaa单位延迟：乘系数：加法器：2020/4/27大连理工大学14•【例6.1】–已知：–方框图和信号流图：•【解】120[][1][2][]ynaynaynbxn1212012[][][][1][1][][1][2][][][][1][2][][][1][2]BCBDCECBAwnynwnwnynwnwnynwnawnawnaynaynwnbxnaynayn2020/4/27大连理工大学15§6.3无限冲激响应（IIR）数字滤波器2020/4/27大连理工大学16•无限冲激响应滤波器的特点：–系统的单位冲激响应是无限长的；–系统函数在有限z平面上有极点存在；–系统结构存在输出到输入的反馈，即递归型的。()hnHz2020/4/27大连理工大学17•IIR数字滤波器当前时刻的输出信号由两部分组成，即输入信号及其延迟部分和系统以前时刻的输出部分。•表示将当前时刻输入及延时后的输入信号进行加权线性组合，构成一个M节的延时网络。•表示将滤波器以前时刻的输出进行加权线性组合，组成N节延时网络。6.3.1直接I型结构0()Mkkbxnk1()Nkkaynk2020/4/27大连理工大学18•【直接I型结构】0()Mkkbxnk1()Nkkaynk2020/4/27大连理工大学196.3.2直接II型结构直接I型变形直接II型2020/4/27大连理工大学20•将式IIR数字滤波器的系统函数按照零、极点进行因式分解6.3.3级联结构121211*101111*1111(1)(1)(1)()1(1)(1)(1)MMMkkkkkkkkNNNkkkkkkkkbzpzqzqzHzAazczdzdz121211212111121211(1)(1)()(1)(1)MMkkkkkNNkkkkkpzzzHzAczzz121212121()()1kkkkkkkzzHzAAHzzz2020/4/27大连理工大学21•【一阶、二阶基本节的信号流图与级联结构】2020/4/27大连理工大学22•将式IIR数字滤波器的系统函数展开成部分分式形式：6.3.4并联结构121011*11101(1)()=1(1)(1)1MkNNkMNkkkkkkNkkkkkkkkkbzABgzHzGzczdzdzaz1210101121112()11NNkkkkkkkkAzHzGczzz2020/4/27大连理工大学23【一阶、二阶基本节和并联结构】2020/4/27大连理工大学24•5.转置定理–若将线性时不变网络中所有支路方向倒转，并将输入和输出相互交换，则系统函数不变。()xn()yn()Hz2020/4/27大连理工大学25§6.4有限冲激响应（FIR）数字滤波器2020/4/27大连理工大学26•概念与特点–在有限个n值处不为0。–在处收敛，即在有限Z平面上只有零点，全部极点都在处（因果系统）。–结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构也包含反馈部分。1100()(),()()()NNnnmHzhnzynhmxnm()hn0z(z)H=0z2020/4/27大连理工大学27•由卷积公式，有横截型结构：•所谓转置，就是将线性时不变系统结构信号流图中的所有支路方向倒转，并将输入信号和输出信号互换，则其系统函数不变。6.4.1横截型结构10()()()Nmynhmxnm基本结构转置结构2020/4/27大连理工大学28•将系统函数分解为二阶因子乘积的形式：•式中，表示的整数部分。6.4.2级联结构[/2]11201201()()()NNnkkknkHzhnzzz/2N[/2]N2020/4/27大连理工大学29•（1）频率采样型结构的推导6.4.3频率采样型结构1101()()(1)1NNkkNHkHzzNWz2020/4/27大连理工大学30•上式为FIR滤波器提供了一种结构形式，由两部分级联组成，即•式中•为级联的第一部分。显然，该式表示一个FIR子系统，是由N节延时单元构成的梳状滤波器（如下图）。1c01()()()NkkHzHzHzNc()1NHzz2020/4/27大连理工大学31•上式级联的第二部分，•是由N个一阶网络并联组成的子系统，其中每一个一阶网络都是一个谐振器，即•其极点为。该谐振器的极点恰巧与梳状滤波器的一个零点（）相抵消，N个并联谐振器与梳状滤波器级联后，整个系统的频率采样结构如图：11100()()1NNkkkkNHkHzWz1()()1kkNHkHzWz2jekkNkNzWik2020/4/27大连理工大学32•FIR数字滤波器的频率采样型结构：2020/4/27大连理工大学33•（2）频率采样型结构的特点–第一，频率采样型结构滤波器在处的响应即为的值，因此可以方便地控制滤波器的频率响应。–第二，该系统结构中的系数和都是复数，且所有极点都在单位圆上。–第三，由于极点是由系数决定的，当系数量化时，有可能会产生误差，从而可能使依赖于零点与极点对消而保持系统稳定性的设计受到影响。2kN()HkkNW()HkkNW2020/4/27大连理工大学34•（3）修正后的结构：–修正方法：将系统的全部零点和极点都移动到单位圆内半径为（小于且近似等于1）的圆上，避免这种由于系数量化而造成的系统不稳定性。rr2020/4/27大连理工大学35•快速卷积结构：–利用快速傅里叶变换或离散傅里叶变换在离散频率域来求解线性卷积问题。6.4.4快速卷积结构()()*()ynxnhn()Yk()Xk()Hk()hn()xnL点DFTL点IDFTL点DFT2020/4/27大连理工大学36•（1）线性相位条件–若FIR数字滤波器满足以下条件，则该滤波器具有严格的线性相位。–或–（偶对称结构）（奇对称结构）–对称中心。•问题：为什么满足上述条件的FIR滤波器具有线性相位？请自行验证。6.4.5线性相位FIR滤波器结构与最小相位系统(),0,1,,1hnnN()(1)hnhNn()(1)hnhNn12N2020/4/27大连理工大学37•（2）线性相位FIR滤波器的直接型结构–设FIR数字滤波器满足线性相位条件，则当滤波器序列长度N分别为奇数和偶数时，可以得到滤波器的系统函数分别为：–上面两式中，方括号内“+”号表示偶对称，“-”号表示奇对称。1112(1)201()()[]2NNnNnnNHzhnzzhz(/2)1(1)0()()[]NnNnnHzhnzzN为偶数N为奇数2020/4/27大连理工大学38•【若N为奇数】备用–上式最后一项，令，再将m用n表示，有–代入线性相位奇偶对称条件：，有–当奇对称时，有：1111122100+121()()()2NNNNnnnNnnnNHzhnzhnzhzhnz1nNm111112212001()()12NNNNnnnnNHzhnzhzhNnz