八个著名的不等式

第八讲几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。下面择要介绍一些著名的不等式．1.柯西（Cauchy）不等式定理：设niRbaii2,1,则22211nnbababa2222122221nnbbbaaa等号成立当且仅当nikabii1.。[一般形式的证明]作函数0)(222222122112222212222211xbbbxbababaxaaabxabxabxaxfnnnnnn0此时044121221niiniiniiibabaniiniiniiibaba121221，得证。[向量形式的证明]令,2,1naaaA,2,1nbbbB22221222212211cosnnnnbbbaaaBABAbababaBA1cos1两边同时平方得：22211nnbababa2222122221nnbbbaaa，得证。[柯西不等式的应用]例1.1设22121111,1naaaaaaniRanni求证解：由柯西不等式可知，原不等式可化为2222122221111nnaaaaaa22111nn个当且仅当,1,1,12211nnakaakaaka时等号成立即naaa21，故原不等式得证。例1.2设实数yx,满足yxpyx2.62322求的最大值与最小值。解yxp211236112321322213322222222222yxyxyxyxp1121112yxyx即等号当且仅当623,22,32322yxkykx且时，成立；即116k；故11,11minmaxPP。2．琴生（Jensen）不等式凸函数的定义设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任何x1、x2∈D和实数λ∈（0，1），有f[λx1+（1-λ）x2]≥λf(x1)+（1-λ）f(x2)，则称f(x)是D上的凸函数（又称D上的“上凸函数”）。若-f(x)是区间D上的凸函数，则称f(x)是D上的凹函数（又称D上的“下凸函数”）。凸函数的一个判别法则：如果函数)(xf是二次可微分的，则：)(xf是上凸函数)(xf的充分必要条件是0)(xf．)(xf是下凸函数的充分必要条件是0)(xf；定义：设xf是定义在数集RD上的函数，如果对于任意2211221121,xfxfxxfDxx有这里012,121则称是xfD上的凹函数，若不等号反向，则称xf是D上的凸函数，等号当且仅当时成立。21xx[琴生（Jensen）不等式]设xfniRpi,2,1是区间D上的严格的凹函数，则对任意nnnnnnnpppxfpxfpxfppppxpxpxpfDxxx21221121221121,有，当且仅当时nxxx21，等号成立。特别地，另,2,11nnnpi则有nxfxfxfnxxxfnn2121[证明]定理2.1若f(x)是凹函数，则下面不等式成立：)()()()(22112211nnnnxfqxfqxfqxqxqxqf其中1,,,2,1,021niqqqniq证明当n=2时，上式即为下凸函数定义，所以定理成立．现假设k=n时定理成立．当k=n+1时，令1,,2,1,0,1121niqqqqqinn这时112211nnxqxqxq111111111)(nnnnnnnnnnnnxqqqxqqqqqxqxq所以)(112211nnxqxqxqf111111111)(nnnnnnnnnnnnxqqqxqqqqqxqxqf)()()(11111nnnnqqxfqxfq1111nnnnnnnnxqqqxqqqf)()()(11111nnnnqqxfqxfq)()(1111nnnnnnnnxfqqqxfqqq)()()()(111111nnnnnnxfqxfqxfqxfq所以定理对k=n+1也成立．同理，对凸函数f(x)也有)()()()(22112211nnnnxfqxfqxfqxqxqxqf[应用]例2.1利用Jensen不等式证明nnGA.证明：设2lglg2lg2lg,0,lgyxyyxyxxxf有对任意，在0lgx上是凸函数。如果,,21Rxxxnnxxxnxxxnnlglglglg2121有即nnnxxxnxxx2121nnGA当且仅当时nxxx21，等号成立。例2.2设ABCP是内任一点，求证PAB,PBC,PCA中至少有一个小于或等于30。'sin'sin'sinsinsinsin)sinsin(sin'sin'sin'sinsinsinsin'sinsin'sinsin'sinsin;'''2PAPCPCPBPBPAPCBPBAPACPCAPBCPAB依正弦定理有：、、，且、、证：设30150,3021sin,)21(sinsinsin3中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在666)21()6'''(sin)6'sin'sin'sinsinsinsin(3.排序不等式如且niRbRaii1,nnbbbaaa2121,则nnbababa2211njnjjbababa21211111bababannn（顺序和）（乱序和）（逆序和）njjjn,,2,1,,,21是的任一排列.当且仅当naaa21或nbbb21时等号成立.[证明]设nji1，0ijiiijjijjiibbbababababa可见在i和j两个位置上，将同序改为反序时，和值将减少或相等。由此可采取逐步调整法，获证。其中等号成立，当且仅当naaa21或nbbb21.例3.1已知nnnaaaaaaaaaRaaa211232222121,求证不妨假设naaa21,有次序即naaa21，那么naaa11121由于Raaan21,，所以22221naaa由排序不等式可知nnnnaaaaaaaaaaaaaaa21222212112322221111得证.（乱序和）（倒序和）4.平均不等式设nnniGAniRxH,2,1则[证明]设2lglg2lg2lg,0,lgyxyyxyxxxf有对任意，在0lgx上是凸函数。如果,,21Rxxxnnxxxnxxxnnlglglglg2121有即nnnxxxnxxx2121nnGA当且仅当时nxxx21，等号成立,对于nxxx11,121这N个数，应用nnGA得011112121nnnxxxnxxxnnnxxxnxxx1112121所以nnHG成立，故nnnHGA证毕。5.切比雪夫不等式由nnbbbaaa2121,则niininiiniiniiibannbnaban1111111[证明]由排序不等式有：nnbababa2211nnbababa22111111bababannnnnbababa221113221bababan1111bababannnnnbababa221124231bababan1111bababannn…………………………………………………………nnbababa22111121nnnbababa1111bababannn将以上式子相加得:1121212122112211bababanbbbabbbabbbabababannnnnnnnnnniininiiniiniiibanbaban11111同除以2n,可得niininiiniiniiibannbnaban1111111,得证.6.赫尔德（Holder）不等式设nibaii1,是2n个正实数，,1,0,0则niiniiniiibaba111.[证明]令niiniibBaA11,那么niiiniiiBbAabaBA111lglglglglgBaAaBaAaBaAaiiiiii（利用Jensen不等式）BaAaBbAaiiii1111niininiiiibBaABbAa即niiniiniiibaBAba111,得证。特别地，令是实数，及iiiiiiyxnibyax1,,2122由Holder不等式导出柯西（Cauchy）不等式。Holder不等式还有另一种表示形式，令iqiiiipiiibyybaxxaqpqp,,,111,1,1及qniipniiniiniiniiiniiiqypxbabayx11111111则柯西不等式211221121niiniiniiiyxyx7.幂平均不等式设naaa2,1是正实数，0，则111111niiniianan[证明]在Holder不等式里，令nixi1有qniipniiqyny1111111111qayynyniiqqniinii，令qniqiniiynyn11111令1,q