5-3-3-质数与合数(三).教师版

5-3-3.质数与合数（三）.题库教师版page1of41.掌握质数与合数的定义2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题3.能够利用质数个位数的特点解题4.质数、合数综合运用一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1441212，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、质数合数综合【例1】写出10个连续自然数，它们个个都是合数．【考点】质数合数综合【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取10个即为答案．可见本题的答案不唯一．【答案】114，115，116，117，118，119，120，121，122，123【例2】老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数．又2m，m3，，m11是11个连续整数，故只要例题精讲知识点拨知识框架5-3-3.质数与合数（三）5-3-3.质数与合数（三）.题库教师版page2of4m是2，3，，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数．设m为2，3，4，，11这10个数的最小公倍数．m2，m3，m4，，m11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数11的倍数，因此10个数都是合数．所以我们可以找出2，3，411的最小公倍数27720，分别加上2，3，411，得出十个连续自然数27722，27723，2772427731，他们分别是2，3，411的倍数，均为合数．说明：我们还可以写出11!2,11!3,11!411!11(其中n！123n)这10个连续合数来．同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,,(m+1)!+m+1是m个连续的合数．那么200个连续的自然数可以是：201!2,201!3,,201!201【答案】201!2,201!3,,201!201【例3】四个质数2、3、5、7的乘积为，经验证200到220之间仅有一个质数，请问这个质数是。【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】四个质数乘积2357＝210；200到220的质数，因为210＝2357，所以2102，2103，2104，2105，2106，2107，2108，2109，21010都是合数，所以只需要判断2101中谁是质数即可，209和211中211是质数。【答案】积为210，质数是211【例4】有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】略【答案】例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，就是说它们都不是质数．有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．【例5】如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【解析】首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到智康数与其他自然数的“分界线”。我们知道最小的三个不同合数是4,6,8，它们的和是18,则比18小的数一定都是智康数，而比18大的数中，我们可以分为与18的差是“奇数”或者是“偶数”。如果与18的差是偶数，那么这类自然数一定不是智康数，可以写作4+6+(8+2n),如果与18的差是一个奇数，那么可以写作4+(6+2n)+(8+1)也不是一个智康数，所以最大的智康数为17。【答案】17【例6】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】填空【【解解析析】】首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想A尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出8个来必然很大。所以应该是一奇一偶，经试验得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即A的最小值为29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。【答案】A的最小值为29【例7】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少．【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有13种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从2开始的第13个质数要大。从2开始数的13个质数分别是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41。那么这个数一定要比41大，为了满足这个自然数能够分别写成5-3-3.质数与合数（三）.题库教师版page3of4上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从3开始的质数的差只要都是一个大于2的偶数即可满足条件。答案为47【答案】47【例8】求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？【考点】质数合数综合【难度】4星【题型】解答【【解解析析】】考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4合数合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4(2n)＋合数即8n合数(其中n＞1即可)当该数被8整除时，该数可表示为4(2n)8，n＞1,所以大于等于24的8的倍数都可表示当该数被8除余1时，该数可表示为4(2n)9，n＞1,所以大于等于25的被8除余1都可表示当该数被8除余2时，该数可表示为4(2n)10，n＞1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示当该数被8除余3时，该数可表示为4(2n)27，n＞1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示当该数被8除余4时，该数可表示为4(2n)4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示当该数被8除余5时，该数可表示为4(2n)21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示当该数被8除余6时，该数可表示为4(2n)6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示当该数被8除余7时，该数可表示为4(2n)15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示综上所述，不能表示的最大的数是43835经检验，35的确无论如何也不能表示成合数×合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是35。【答案】35模块二、互质【例9】将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成____组。【考点】互质【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第5题，10分【解析】先将所有数都分解质因数得：14=2×720=2×2×533=3×11117=3×3×13143=11×13175=5×5×7注意到33，117，143两两都不互质，所以至少应该分成3组，同样14，20，175也必须分为3组，互相配合就行。【答案】3组【例10】把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组.【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【解析】要保证每组中的任意2个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分3组.【答案】3【例11】把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【解析】34025，244211，24553，26373，65513，782313，299311，105357，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2，第一组含有40，第二组含有44，78，再看11,13，第一组应有40，99，65，再看5第二组应有44，78，45，105，5-3-3.质数与合数（三）.题库教师版page4of4最后看7，第一组应有40，99，65，63．【答案】40，99，65，63【例12】已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为【考点】互质【难度】4星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第6题，10分【解析】分解质因式：A×B×C=11011×28=11×1001×28=222271113，由于A，B，C两两互质，并且A+B+C要最大，则让数尽量的大，则最大为：4、49、1573，则A+B+C的最大值为1626。【答案】1626