《微观经济十八讲》第五章风险规避、风险投资与跨期决策

第五章风险规避、风险投资与跨期决策本章要点§1.对保险金的进一步说明§2.不确定条件下风险决策的基本原则§3.跨期最优决策§4.现值与套利§1.对保险金的进一步说明一、保险金与风险规避程度的关系消费者的期望效用函数可写成：0[()](,()0)EuwhhEh可以小于零若消费者支付R给保险公司，他得到一个确定的效用水平，根据确定性等值：0()uwR00[()]()EuwhuwR用泰勒级数展开上式：等式右边：'000()()()uwRuwRuw高阶项等式左边：2'''00002'''000[()][()()()]2()()()()()2hEuwhEuwhuwuwEhuwEhuwuw高阶项高阶项2()()0,(0),2EhEhk令为一常数略去高阶,得:由于w0可任设，实际上可得到：'''0000''0'0()()()()()()uwRuwuwkuwkuwRuw''0'0()()()auwRkkRwuw保险金与风险规避程度之间是成正比例的。投保人越是厌恶风险，他便越愿支付高一些的保险金；反之，则只愿意承担低一些的保险金。二、风险升水与风险大小的关系在消费者是风险厌恶者时，风险升水的高低与风险本身的大小成正比例。设消费者的初始财富w0。赌局1：50%的概率赢或输h。其期望效用函数为：11[()]()()22hEuwuwhuwh赌局2：50%的概率赢或输2h。其期望效用函数为：211[()](2)(2)22hEuwuwhuwh赌局3：50%的概率赢或输3h。其期望效用函数为：311[()](3)(3)22hEuwuwhuwh由效用函数的凹性可知：23[()][()][()]hhhEuwEuwEuw说明赌局的风险越大，期望效用水平越低。风险厌恶时，当上升时，风险升水（保险价格）P也上升。当损失出现时，消费者认为其效用损失大得多。为免灾，他愿支付较高的保险价格。三、风险升水（E(h)=0,P=R）与投保人的财富绝对水平不一定有关例：某人的效用函数形式为：2()(0,,0)uwabwcwaboc某风险规避程度为：'''()2()()2auwcRwuwbcw()awRw此人越富有，越怕担风险。财富上升时愿意支付更高的保险金R。例：某人初始财富值为w0，的效用函数形式为：()exp()(0)AwuweAwA''2'()()()AwaAwuwAeRwAuwAe风险升水完全取决于常数A。此人愿意支付的保险金R与其财产w无关。结论：一个人的财富多少与其愿意支付的保险金之间的取决于其效用函数的形式。§2.不确定条件下风险决策的基本原则一、不确定条件下的预算约束与边际替代率1.独立性假定,,,:(1)(1)ABCACBPAPCPBPC若则必有上述独立性公理说明，在A和B进行选择，与另外一种结果C之间无关。例：消费者在房子可能遭受火灾时的决策与没有遭受火灾条件下的决策相互独立。正是由于u(w0)和u(w1)相互独立，才能写出期望效用函数：01[()]()(1)()EuwPuwPuw2.不确定条件下的预算约束例：某人拥有35000元的财产，有1%的概率损失10000元，99%的概率无损失。保险价格为投100元付1元。于是，1%的可能性下财产为34900（35000-10000+10000-100）；99%的可能性下财产为34900（35000-100）。例：设投保财产为K，每单位财产保险费为r。出现损失时财产为：25000+K-rK（35000-10000+K-rK）；没有损失时财产为（35000-rK）。若不买保险，财产为35000或25000。bwgwA或然状态下的预算线O25000KrK350002500035000rKB（初始禀赋）（选择）1rr(25000)(1)(35000)34900PKrKPrKA点的预期值：C在B点的预算约束是(P是遇灾的概率)：(25000)(1)(35000)34900PKrKPrK35000(35000)ACrKrK(25000)25000BCKrKKrK因此，预算约束线的斜率为：1gbwrKrwKrKr其中，wg表示状态好时的财富值，wb表示状态差时的财富值。3.不确定条件下的边际替代率效用函数为：[()]()(1)()bgEuwPuwPuw,()()(1)bbgguwwMRSuwPwMRSb,g表示状态好时的财产（没有损失，99%的概率）与状态坏时的财产（1%的概率损失10000）的边际替代率。二、不确定条件下最优选择的条件根据上述预算线和无差异曲线的斜率，可得：()()1(1)bguwwruwrPw如果保险公司的保险价是公平价格，其期望利润应为0。(1)00rKPKPrKPK,rP代入上述斜率相等式:()()()()1(1)gbbbgguwuwwuwPuwPwwPw不确定条件下达到消费者的最优行为时，必有两种状态下的边际效用相等。**bgww由效用函数的凹性可知，。因此满足上式的充要条件是：''0u上述最优条件的含义是：投保后，无论是遇上好的状态（没有灾祸）还是坏状态（出现灾祸），财产都一样。注意：只有当r=P时，才会有上述最优条件。例证汽车保险。某人的汽车在没遇上小偷时价值为100000元，遇上小偷只有80000元。设遇上小偷的概率为25%，车主的效用函数形式为：lnw。（1）公平保险价格下，他买多少保险是最优的？（2）保险公司的净赔率是多少？（3）车主按公平保险费投保与不投保相比，其期望效用水平改进多少？（1）预算约束为：**0.751000000.25800000.750.25bgww****95000bggb初始状态，wg=100000，wb=80000。为达到最优配置，应使：**95000950009500095000ggbb因而需购买2万元的保险，付出保费5000（2万×0.25）。于是，wg=从10万降至95000；而wb*（出现小偷时的财产）确定是95000（10万-2万+2万-0.5万）。再次说明，在公平保险价格下，投保人充分投保。（2）净赔率=投保人获得的净赔额（赔额-保险费）/保险费。本例中为1.5/0.5=3。若车主购买价值K的保险，公平保险价r=P。则付的保险费为PK，净赔额为(1-r)K=(1-r)P，因此，净赔率为：1PP（3）没有购买保险时的期望效用水平为：0.75ln(100000)0.25ln(80000)11.457若购买保险，达到最优解时，此时的期望效用水平为：**95000bgww0.75ln(95000)0.25ln(95000)11.462因此，车主的保险行为达到最优时，购买保险后的期望效用水平具有明显的改善。预算约束1221112,1()(1)(1)()1xmqxmLqqxmLqqxxmLxxmmL2x1xA(,)mmLmL12xx045(1)mo无差异曲线不确定状态下的预期效用函数可以用保险市场中的需求来说明，无差异曲线可以表示为：012'''1122'2112(1)()()0(1)()()0(1)()()puxpuxuupuxdxpuxdxdxpuxdxpux均衡的条件这是需要通过无差异曲线与预算线相切来表示。消费者在不确定条件下消费行为达到最优时，必有其在两种状态下的边际效用相等。'1'2()(1)1()uxppux§3.跨期最优决策一、跨期预算约束设某人有t=1和t=2两个时期，其收入与支出分别为：12121,,,,1ccmmp且2211()(1)cmmcr1111,;,mcmc若第一期是储蓄者则若第一期是借入者则11221212,,(,)(,).mcmcccmm若第一期是储蓄者,则在预算上会有相应一点,点与点重合跨期预算约束方程1212121211221122(1)(1)(1)11(2)(1)(1)rccrmmccmmrrpcpcpmpm即改写上式：（1）式中：121,1prp（2）式中：121,1/(1)ppr期值跨期预算约束线现值跨期预算约束线1c2c21(1)mrm12((1))mmr(1)r12(,)mmmBA禀赋期值2m1mO现值是c1和c2的无差异曲线的斜率MRSc1,c2为两者的边际效用之比，因此，在最优点有：二、利率变动对跨期决策的影响121,2()1()ccucMRSruc当利率上升时，说明消费者的c1和c2的边际效用之比上升，意味着c1量的下降（因边际效用递减），或c2的上升；当利率下降时则相反。2c1c2c1c12(,)ufccO2m1m无差异曲线与给定的预算线切于（c1和c2）点的右下方，m1c1,m2c2,是借入者。E2c1c2c1c12(,)ufccO2m1m无差异曲线与给定的预算线切于（c1和c2）点的左上方，m1c1,m2c2,是借出者。(1)rr由于初始禀赋总在预算线上，因此，变动的预算线仍经过(m1,m2)点，即这它是经(m1,m2)点的旋转。出借者（m1c1,m2c2）,由于利率上升仍是出借者。利率上升，放弃一单位c1的边际替代率更高。新无差异曲线与更陡的预算线切于更左上方。利率变动对消费者跨期决策的影响1c2c新选择2m1m出借者在利率上升后仍为出借者BAmO原选择新预算线原预算线1c2c2m1m借入者在利率下降后仍为借入者BAmO原预算线新预算线三、名义利率、通货膨胀率与实际利率121,1pp第一期与第二期之间通货膨胀率为存1元钱到第二年的实际购买力为：11r实际利率r*应满足：**(1)1(1)1rrrr§4.现值公式与套利行为一、现值公式与贴现如发行债券，债券的基本信息：（1）到期还本前每期支付的固定金额x，息票。（2）偿还本金的期限T。（3）到期归还的金额，面值F。债券现金流的现值为：21(1)(1)TxxFPVrrr存1元钱一年后为：(1)r半年记一次利息，年底为：212r每季记一次利息，年底为：214r每时每刻连续计算利息，年底为：211lim1lim1lim1rrttrrrtttrretttrr1元年底的钱折成现值为：1rree贴现因子1元钱按复利存t年变为：rrrtreeeet年后1元钱的现值为：1rtrtee此贴现因子在宏观经济分析中有着广场的用途二、无风险套利与无套利条件一种极端状态：金融资产是无风险的，其回报率是确定的。此时，各种金融资产的回报必然相等。设有两种投资机会。一是购买资产A，价格是p0,p1,且是共同知识。二是存入银行。如投资1元购买A，则能买到的数额x满足：0011pxxp下一期，A的期值为：110pFVpxp第二种投资的期值为：(1)r如果：10(1)prp持有A资产会在第一期按价格p0出售1单位A，把获得的现金p0存入银行第二期可得p0（1+r)。10010(1)pprppp用p0（1+r)在第二期以p1价格可买回多于1单位的A，即套利。若每人都这样，则A的现价p0下降，一直到：10(1)prp上述买进某种资产又卖掉某种资产去实现一个确定的回报的方法称为无风险套利。但均衡状态，不会存在套利机会。三、投资多样化与降低