11-4毕萨定律(新)

IenSm一个用于计算载流导线和运动电荷周围磁感应强度B的大小和方向的重要工具dlIS+v++vmI毕奥萨伐尔定律LawofBiot－Savartg(历史上曾经称：毕奥－萨伐尔.拉普拉斯定律）××××××××××××××××××××....................IdlIdBrP.a一.毕奥萨伐尔定律(Biot-savart)实验和理论指出：rdlIsin2dBa∝dqdEr2∝静电场中电场强度和电荷的关系dBr2dlI∝恒稳磁场中磁感应强度和电流元的关系§11-4毕奥萨伐尔定律(历史上曾经称：毕奥－萨伐尔.拉普拉斯定律）电流元在真空及SI制中：4πμo=dBrdlIsin2a真空磁导率比例系数a表示电流元和矢径之间的夹角()dlI=r、a∨可写为真空中的磁导率μoμo=4π×107()Hm.1亨利.米1()或用矢量形式表示的毕奥萨伐尔定律4πμo=dBrdlIsin2a此数据加以适当记忆！4πμo=dBrdlI3×r4πordlI2×r=μr(）4πμordlI3×rB=电流元对某处电场强度的贡献。载流导线对某处电场强度的贡献。计算时先应该注意B的方向，然后再进行量值的（或积分）处理dB用矢量形式表示的毕奥萨伐尔定律4πμo=dBrdlI3×r4πordlI2×r=μr(）4πμordlI3×rB=II900rdlIdBr磁感应强度B方向的判断右手螺旋前进法则一个用于计算载流导线和运动电荷周围磁感应强度B的大小和方向的重要工具dlI×r二.运动电荷的磁场qvrsin2=Sndl4πμao4πμo=dBrdlIsin2a()、rvqvrsin2=dN4πμ＜odB=NdB()、rvqvrsin2=4πμ＜oBrvqr3=4πμo×dlIS+v++vSdl=n载流粒子数dNI=qvSn运动电荷不仅产生电场还产生磁场！运动电荷除了产生电场外，还在其周围激发磁场。此式表明运动电荷激发的电场和磁场是紧密相关的,从而加速奠定了电磁场的理论。若电荷运动速度远小于光速，则空间一点的电场强度为Brvqr3=4πμo×Eεr42=π01rqr)(由上两式得：B=ε0μov×EvBErq.＋aP▲I·9001.载流直导线的磁场§11-4毕奥萨伐尔定律的应用求载流导线外任意一点P的磁感应强度B（已知P点与载流导线的垂直距离为a）在载流导线上攫取电流元IdlldlIdl电流元到P点的矢径为rIdlrβdBaβ的方向：dBdlI×r右手螺旋前进法则的大小：dB4πμo=dBrdlIsin2acosβ=al=tgβ2dl=asecβdβ以下是数学关系的变化过程sin=sin()+900βa=rasecβ1.载流直导线的磁场的大小：dB4πμo=dBrdlIsin2a的方向：dBdlI×r右手螺旋前进法则rβdBaβaP▲I·900ldlIdl由上面得到：sincosβ=a2dl=asecβdβ=rasecβ4πμo=dBrdlIsin2a4πμo=I2asecβdβcosβasecβ224πμo=Idβcosβa电流元的dB已经有了，接下去对整体载流导线产生磁感应强度量值的积分。aldlrβ1dlIdBβ2aldlrβ1dlIdBβ2电流元的dB已经有了，接下去对整体载流导线产生磁感应强度量值的积分。4πμo=IdβcosβadB4πμo=Iasinβ2sinβ1(－）μβ1B=dB=β2dβcosβ4πoIasinββ1β24πμoIa=讨论：当直线电流为“无限长”时：载流导线外任意一点P的磁感应强度B的量值=π2μoaI作为经验公式记住注意：这里的a是考察点到无限长直线电流的垂直距离讨论：当直线电流为“无限长”时：aβ1dBβ2I4πμo=Iasinβ2sinβ1(－）B4πμo=Ia×2B=π2μoaI4πμo=Iasinβ2sinβ1(－）B无限长载流直导线外任意一点处的磁感应强度的量值公式。π2β1β2π2取取作为经验公式记住！如果是半无限长，则：aβ1dBβ2I4πμo=Iacosβ1cosβ2(－）B分析的思路基本相同，就是积分角度不同。如果按照本教材（P82图11-9中角度的取向）当直线电流为“无限长”时：B=π2μoaIB=π2μoaI21×=π4μoaI0β1β2π取取，θ2.载流圆线圈轴线上的磁场攫取载流圆线圈上的电流元Idl，并设定电流元到P的矢径为r研究载流圆线圈轴线上P点处的磁感应强度B大小和方向RxIP··rIld根据右手螺旋前进法则dlI×r可以确定电流元Idl在P点处磁感应强度dB的方向dBdB的大小4πμo=dBrdlIsin2a900=900a其中电流元和矢径的夹角4πμo=rdlI2再在载流圆线圈的下端攫取电流元Idl，并确定dB的方向IdldB建三维坐标：xyzθθRxIP··rIlddB900IdldB再在载流圆线圈的下端攫取电流元Idl，并确定dB的方向dB注意到矢量在三维坐标上分量的对称性：∴ByBz==0只有x轴向上是叠加加强的B=dBx=dBsinθμdlsinθ4πoIr=2μdlsinθ4πoIr=2dB的大小4πμo=dBrdlIsin2a4πμo=rdlI2已知θRxIP··rIlddB900IdldBsinθ=RrB=dBxμdlsinθ4πoIr=2μdl4πoIr=2Rrdl=R2πμ4πoI=Rx2+R2)(23R2πrx2+R2)21(=33=x2+R2)(23μoI=Rx2+R2)(2322μoI=Rx2+R2)(2322B讨论：（1）在圆心处，x=0RxIP··μoI=R2B作为经验公式记住！如果是载流半圆环圆心处，则：21×μoI=R2BμoIR4=（2）引入磁场中新的物理量：磁矩m在磁场中引入磁矩m来描述载流线圈的性质。与静电场中引入电偶极子的电矩相类似，N线圈的匝数S线圈所包围的面积Im磁矩在磁场中引入磁矩m来描述载流线圈的性质。与静电场中引入电偶极子的电矩相类似，IenSm磁矩en为圆电流平面的单位正法线方向电流I和磁矩m遵循右手螺旋前进法则m＝SINne（2）引入磁矩后，圆电流轴线处的磁感应强度可表示为：μoI=Rx2+R2)(2322BμoI=Rx2+R2)(2322Bm＝SINne已知：×ISmμoI=Rx2+R2)(2322×ImπR2r3μo2πm=BIenSm磁矩3.有限长载流螺线管轴线上P点的磁场Rβ1β2P.××××××××××××××××××××....................ldlβRμoI=Rx2+R2)(2322B已知载流圆电流轴线上的磁感应强度的量值是螺线管单位长度上的电流作为dI、考察距离为lμoI=RR2+x2)(2322∴BμoI=RR2+l2)(2322ddBμol=RR2+l2)(2322dnIn单位长度上的匝数Id=ndlI∴dl=cscR2ββdl=RctgβldlβR·PRβ1β2P.××××××××××××××××××××....................ldlβR从分解图中有以下的几何关系：l=Rctgβμol=RR2+l2)(2322dnIdBμo=R2+2)(232R2nIcscR2ββd()Rctgβ2μo=R2+2)(232R2nIcscR2ββd()Rctgβ2=μoR332R2nIcscR2ββd()cscβμoR332R2nIcscR2ββd()cscβdB=μo2nIβdcscβ=-dBB==μo2nIβdcscβ-=βdsinβμo2nI-β1β2μo2nI=cosβ2cosβ1(－）Rβ1β2P.××××××××××××××××××××....................当螺线管为无限长时：β10π、β2讨论：μoInB=作为经验公式记住！归纳总结利用毕奥萨伐尔定律求磁感应强度的分布(Biot-savart)解题思路：1.将载流导线无限分割成电流元Idl，任一电流元在空间某点处产生磁感应强度用dB表示。解题步骤：并判别其方向。在空间某点产生的磁感应强度：（1）用定律写出载流导线上任一电流元4πμordlI3×rdB=2.由磁场的叠加原理求得整根载流导线所产生的磁感应强度B＝dB。4πμordlI3×rB=（2）由磁场叠加原理计算载流导线在空间某点产生的BdB=（4）统一变量，确定积分限再积分。如果各个电流元在所求点产生的dB方向都相同，则矢量积分：就可写出标量积分：B=dBB=dB几个常用的经验公式（1）一段直线电流的磁场（3）选取适当的坐标系，把矢量积分式化为分量式。B=dB几个常用的经验公式（1）一段直线电流的磁场4πμo=Iasinβ2sinβ1(－）Baβ1dBβ2I4πμo=Iacosβ1cosβ2(－）Baβ1dBβ2I如果按照本教材（P82图11-9中角度的取向）（2）无限长直线电流的磁场（2）无限长直线电流的磁场B=π2μoaIa是考察点到无限长直线电流的垂直距离μoI=Rx2+R2)(2322BRxIP··在圆心处，x=0μoI=R2B载流半圆环圆心处：BμoIR4=（3）载流圆线圈轴线上P点处的磁感应强度B（4）载流螺线管轴线上P点处的磁感应强度B如果是半无限长，则：=π4μoaIB（4）载流螺线管轴线上P点处的磁感应强度BμoInB=上面的计算结果可作为经验公式使用，必须牢记！对某些形状比较复杂的载流导线或导体，可看作这些简单电流的组合。半无限长载流螺线管轴线上P点处的磁感应强度B：μoInB=21（5）一段圆弧在圆心处产生的磁场BμoIR4=πθ0θ0一段圆弧所对应的圆心角。例题：现将一无限长载流直导线弯成如图所示的形状，已知电流为I，圆弧的曲率半径为R，试求：0处的磁感应强度的大小和方向。45°45°·IIABCDE0R解：根据教材P82结论公式（1）4πμo=Ircosθ1cosθ2(－）BoAB段对0处的磁感应强度的大小和方向：4πμo=IRcoscos(－）B1sin45°0°45°=4πμoIR(2-1)×关键点：r0是AB段到0点处的垂直距离和θ角的取值45°45°·IIABCDE0RDE段对0处的磁感应强度的大小和方向：=4πμoIR(2-1)×4πμo=IRcos135°(－）B3sin45°cos180°BCD段对0处的磁感应强度的大小和方向：从图示可以看出BCD圆弧段是半径为R的圆周的四分之一例题：现将一无限长载流直导线弯成如图所示的形状，已知电流为I，圆弧的曲率半径为R，试求：0处的磁感应强度的大小和方向。45°45°·IIABCDE0RBCD段对0处的磁感应强度的大小和方向：从图示可以看出BCD圆弧段是半径为R的圆周的四分之一2μo=IRB241=8μoIR×B0=B1B2B3＋＋=8μoIR＋2πμoIR(2-1)×例题：现将一无限长载流直导线弯成如图所示的形状，已知电流为I，圆弧的曲率半径为R，试求：0处的磁感应强度的大小和方向。xdx例题：在真空中有一无限长载流直导线试求：通过其右侧矩形线框的磁通量。abIl分析：因为无限长载流导线的磁场是非均匀磁场，它通过矩形线框各处（从左到右）的磁感应强度的方向是一致的，但量值是不一样的，所以必须用积分方法计算。解：在矩形线框上取小面积元BΦm.BdS=S（磁通量）B=π2μoxI（经验公式）dS=ldxΦm.BdS=Sπ2μoxI=aldxa＋b=π2μoxIlaa＋bdx=π2μoIlaa＋bln例题：距一根载有电流为3×104A的长直导线1m处的磁感应强度的大小为：A.3×105TB.6×10－3TC.1.9×102TD.0.6T提示：此题可以直接用无限长直导线的磁感应强度的公式：B=π2μoaI将：已知条件代入就能得到结论：6×10－3T所以选：B（练习册P5选择题1）μ0=4π×10－7I3×104T=a=1m★rBrB提示：解此题时，先不要急于计算量值的大小，可以先判断每条电流所产生磁感应强度的方向。例题：四条皆垂直于纸面的载流细长直导线，每条中的电流均为I，流向如图所示，它们组成了边长为2a的正方形的四个角顶，则