Z变换的定义

第八章线性离散系统的理论基础本章主要与学习重点第一节基本概念第二节信号的采样采样定理第三节Z变换第四节线性常系数差分方程第五节脉冲传递函数第六节采样控制系统的时域分析第七节采样控制系统的频域分析小结本章主要内容本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函概念及求取方法等。本章重点学习本章，需要掌握离散系统的相关基本概念，特别是采样过程和采样定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。在此基础上了解利用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应，离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。第一节基本概念采样控制系统数字控制系统离散控制系统的特点采样信号自动控制系统按信号形式划分可分为以下三种类型连续控制系统，见图（a）采样控制系统，见图（b）数字控制系统，见图（c）采样系统的特点•在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制；•通常采样周期远小于被控对象的时间常数；•采样开关合上的时间远小于断开的时间；•采样周期通常是相同的。第二节信号的采样采样定理离散时间函数的数学表达式先看一下原理示意图：采样过程采样函数的频谱分析为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍，即max2s香农（Shannon）采样定理把采样信号恢复为原来的连续信号称为信号的复现。实用的办法是加入保持器。常用的为零阶保持器。信号的复现01()TSheWss零阶保持器的传递函数为：零阶保持器的幅频与相频特性如下图所示：第三节Z变换Z变换的定义Z变换的方法Z变换的性质Z反变换一.Z变换的定义0()()()kftfttkT采样函数00[()]()()()()kTskkLftFsLfkTtkTfkTe0[()]()()TskkeZftFzfkTz令z，则上式变为对其进行拉氏变换：此式称为采样函数的Z变换。()ft二.Z变换的方法级数求和法部分分式法级数求和法例8-1求1*（t）的Z变换。00121()[1()]1()111kkFzZtkTzzzzzzz解：例8-2求的F(Z)。ate001220111akTkaTaTkaTaTFzezezezezzezze解：部分分式法例8-3求解的Z变换。()()aFsssa1111()(1)()1(1)()ataTaTaTABFsssassaLFstezzzeFzzzezze解：因为而所以例8-4求][sin)(tZzF22221()2211111121211222222[sin]11111()2121sinsin112cosjtjTjTjTjTssjjjjLtsssjsjLesjFzzsjezjezzTzTezezzzTz解：因为所以三.Z变换的性质线性性质延迟定理超前定理复位移定理初值定理终值定理卷积和定理线性性质**1122*11221122[()](),[()]()[()()]()()ZftFzZftFzZftftFzFz若：，则延迟定理设t0，f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则延迟定理为()()iZftiTzFz超前定理令Z[f(t)]=F(z)，则10[()]()()iiikkZftiTzFzzfkTz复位移定理设Z{f(t)}=F(z)，则[()]()ataTZeftFze初值定理设Z{f(t)}=F(z)，如果Z→∞时F（z）的极限存在，则函数的初值为lim()(0)lim()zftfFz终值定理设Z{f(t)}=F(z)，则函数的终值为111lim()()lim(1)()lim(1)()tzzftfzFzzFz卷积和定理若，其中，k=0，1，2，…且当k=-1，-2，-3，…时，xc(kT)=g(kT)=xr(kT)=0，则式中，kirciTTxikgkTx0)()()(()()()crXzWzXz)]([)()],([)(kTxZzXkTgZzWrrZ反变换幂级数展开法部分分式法反演积分法（留数法）第四节线性常系数差分方程差分方程的定义差分方程的解法差分方程的定义对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值xc(k)不仅与这一时刻的输入值xr(k)有关，而且与过去时刻的输入值xr(k-1)，xr(k-2)…有关，还与过去的输出值xc(k-1)，xc(k-2)…有关。可以把这种关系描述如下：xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+…=b0xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+……或表示为xc(k)=T[xr(k)]当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。差分方程的解法迭代法Z变换法迭代法例8-5：已知采样系统的差分方程是)2(2)()1()(kxkxkxkxrrcc初始条件：2)0(,000)(crxkkkkx解：令k=1，有)1(2)1()0()1(rrccxxxx(1)210(1)1ccxx因为所以令k=2，有)0(2)2()1()2(rrccxxxx(2)(1)20(2)3ccxx因为所以同理，求出6)4(,2)3(ccxx输入输出关系如下图所示。Z变换法例8-6：求解初始条件：xc(0T)=0,xc(1)=10)(2)1(3)2(kxkxkxccc解：由超前定理，令)()]([zXkxZcc于是22[(2)]()(0)(1)ccccZxkzXzzXzX)0()()]1([ccczXzzXkxZ代入原式得0)(2)0(3)(3)1()0()(22zXzXzzXzXXzzXzcccccc整理后得21)2)(1(23)(2zzzzzzzzzzzXc()(1)(2),0,1,2rkcxkTkk所以第五节脉冲传递函数脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的推导开环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数脉冲传递函数的定义()()()()()ccrrXzxkZWzXzxkZ输出脉冲序列的变换输入脉冲序列的变换脉冲传递函数的推导由单位脉冲响应推出由拉氏变换求出由差分方程求出开环系统脉冲传递函数串联各环节之间有采样器的情况)()()()()()(2111zXzWzWzXzWzXrcc12()()()()()crXzWzWzWzXz串联各环节之间无采样器的情况)()()()()(*)()()(*2121zxsWsWZzXsXsWsWsXrctc12()()()()()crXzWzZWsWsXz结论：中间具有采样器的环节，总的脉冲传函等于各脉冲环节传函之积，而串联环节中间没有采样器时，其总的传函等于各环节相乘积后再取Z变换。闭环系统脉冲传递函数应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关，因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。例8-711()()()1()cBrWzXzWzXzWHz例8-8()()()()()1()()CBrXzDzWzWzXzDzWHz例8-9221()()1()cNWzXzWWz第六节采样控制系统的时域分析用Z变换法求系统的单位阶跃响应采样系统的稳定性分析采样控制系统的稳态误差用Z变换法求系统的单位阶跃响应例8-10已知系统的动态结构图如下图所示，求系统的单位阶跃响应。解：()()()1()()(1)11()(1)1()(1)(1)(1)()(1)()kcrkkkTTTTTWzXzXzWzKWzZsszzKWzZsszzezzezzzezzezze令，则)1())(1()1()(1)()(TTTkkBezezzezzWzWzW232(1)()()1(12)(2)TcBTTTTzzeXzWzzzezeeze所以112310.3680.632()11.7361.1040.368TcTsezXzzzz令，则，而123()0.6321.0971.205ccXzXzzzz利用长除法，将展开得()0.632()1.097(2)1.2(3)cZxkTtTtTtT求反变换得例8-11在上例中加入保持器后再求输出量。解：11211211111()(1)(1)(1)11(1)(1)(1)TskTTTTTTeTzWzZzssszzezzTeTeezzee)1()2()1()1()(1)()(2TTTTkkBTezTzeTeeTzzWzWzW20.3680.2641()0.632BzTsWzzz将代入得23212340.3680.264()()121.6320.6320.3681.41.4cBzzzXzWzzzzzzzzz所以)4(4.1)3(4.1)2()(368.0)(TtTtTtTtkTxc由此结果看出，由于增加了保持器，使得系统输出量的超调量增加了。采样系统的稳定性分析Z平面上系统稳定的条件闭环系统的稳定稳定条件是脉冲传函的全部极点位于Z平面上以原点为圆心的单位圆内。否则将是不稳定的。把S平面映射到Z平面上闭环传递函数极点的位置与暂态特性的关系采样控制系统的稳态误差具有单位反馈的采样系统如下图所示：采样系统的稳态误差和连续系统一样，都和输入信号的类型有关，也和系统本身的特性有关。在分析时，利用Z变换的终值定理求出。系统类型位置误差速度误差加速度误差01/kp∞∞101/kr∞2001/ka第七节采样控制系统的频域分析双线性变换Bode图双线性变换为了利用连续系统在S平面上的一些结论，我们把Z平面通过变映射到W平面上，且令稳定边界在W平面的虚轴上。这种变换被称为W变换。S平面与W平面频率间的关系：2tan211WTTzWz或写成22tan22WTTTTWS当频率较小时，这样平面的频率就等于平面的频率。Bode图典型环节的Bode图如下图所示()()1()(),()()1,1()()1为为为为小结：离散时间系统与连续时间系统在数学分析工具、稳定性、动态特性、静态特性、校正与综合等方面都具有一定的联系和区别，许多结论都具有相类同的形式，在学习时要注意对照和比较，特别要注意它们不同的地方。处理离散系统的基本数学工具是Z变换。要掌握Z变换的定义及主要性质，要会使用Z变换表。离散系统的脉冲传递函数与连续系统中的传递函数一样重要。它是研究离散系统最有力的手段之一，要能熟练地求出典型离散系统的闭环脉冲传递函数。对一些常见的离散系统框图应能推导出输出Z变换的表达式。要掌握s平面与z平面的对应关系，掌握离散系统的稳定判据及采样周期等参数对稳定性的影响。能对离散系统的动态特性作一般分析，能够根据系统结构特点分析其静态误差特性。