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高中数学模块教学选修系列4----《不等式选讲》专题课例《柯西不等式》主讲人：山东师范大学附属中学史宏伟数学是智能的一种形式，利用这种形式，我们可以把现象世界中的种种对象，置之于数量概念的控制之下。------------Howison．Ｇ．Ｈ大数学家柯西（Cauchy)法国数学家、力学家。1789年8月21日生于巴黎，1857年5月23日卒于索镇。曾为巴黎综合工科学校教授，当选为法国科学院院士。曾任国王查理十世的家庭教师。柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面。此外，柯西对力学和天文学也有许多贡献。著作甚丰，共出版了七部著作和800多篇论文，1882年开始出版他的全集，至1970年已达27卷之多。要想获得真理和知识，唯有两种武器，那就是清晰的直觉和严格的演绎。-----Descartes（笛卡尔）一、创设情景，共同探究案例：（数学模型）YxoQ(c,d)P(a,b)考察如图所示的三角形POQ,则有三角不等式：|OP|+|OQ|≥|PQ|二、诱思发现，剖析论证（一）柯西不等式的表达形式（二维形式）注意观察此不等式的简洁性，对称性，深刻体现出数学形式的美。1．向量法：（类比数学模型）2．比较法：（不等式证明的基本方法）3．构造法：（类比联想，利用二次函数的性质）4．几何法：（利用余弦定理）（二）柯西不等式的证明方法共同思考，讨论发现。借助以往的知识和经验，运用类比联想与化归转化的思想，探究用什么方法来证明它。大胆假设，小心求证，运用发散思维，自主探求。不断提升思维层次，提炼出其中蕴含的数学思想方法。归纳总结合作探究问题1：除了以上我们归纳的几种方法以外，还能不能发现其他的途径来证明它呢？合作探究问题2：两个重要的不等式均值不等式和柯西不等式之间是否存在着某种联系？两者之间究竟存在着一种什么关系？有待于进一步研究的问题：思维提升今后我们在学习中要有意识地归纳数学方法，并将经验性的知识上升到“理论性”的层次。比如向量是代数和几何连接的桥梁，向量法所体现的是一种数形结合的数学思想。应主动地培养自身的数学素养，为终身发展奠定基础。三、探索研究，知识深化（一）柯西不等式的几种不同的表达形式：进一步感受柯西不等式的和谐统一性，从不同角度体验它的协调一致性。（二）柯西不等式的推广与应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，它在数学和物理方面，尤其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用。进一步的论证可以得到N维形式的柯西不等式：由柯西不等式可以导出几个著名的不等式推广1：（闵可夫斯基不等式）推广2：（赫尔德(H0lder)不等式）推广3：（赫尔德不等式一个极好的变式）：推广4：合作探究问题3：尝试给出以上柯西不等式的推广的严密证明。以上所介绍的柯西不等式的推广都有着极为广泛的应用，特别是后三个推广之间有着密切的联系．应用推广的柯西不等式，许多不等式的证明问题就能够轻而易举地解决，并且某些特殊结论的不等式，也能够很自然地推广到一般性结论。合作探究问题4：尝试发现柯西不等式其他的推广与应用。研究性学习的课题数学具有现实的性质，它来源于现实生活，再应用到现实生活中去。正如均值不等式在实际生活中有许多应用，那么，柯西不等式在现实生活中也应该有它的数学情境。建议同学们以科学研究的态度，利用各种信息技术手段，搜集、判断和处理相关的资料，加强合作与交流，共同探讨一下我们发现并提出的这一研究性学习的课题《柯西不等式在现实生活中的应用》，要注重研究的过程，及时发现更有价值的新问题，逐渐地培养自己的科学素养。（三）柯西不等式的特殊化我们从中可进一步观察体验柯西不等式所蕴含的形式上的对称美，简洁美及和谐性。四、应用举例，能力提高尝试解决：选作1：选作2：例2：尝试解决：选作1：选作2：五、归纳提升，总结反思我们共同探究了柯西不等式的几何背景，表示形式，得出其不同证明方法，同时也发现了很多值得我们进一步研究的有价值的问题。更重要的是我们通过自主探究，发现问题，解决问题，更多的体验到数学发展过程。数学是一门通过数学思想方法逐渐将问题化繁为简的科学，它有深刻的文化底蕴和内涵，我们更应该在今后的学习中不断的挖掘和发现，真正体验到数学学习带来的美感和快感。六、开放考查，发展评价（一）考查1．客观考查部分课后练习题（详见学案）思考：柯西不等式与排序不等式之间的关系，并收集有关排序不等式的相关资料。２．开放性考查题：结合今天所学习的《柯西不等式》内容，要求同学们写出一篇学习报告或者是内容与柯西不等式相关的科学小论文(任选其一）。要求字数学习报告3000字左右科学小论文1500~2000字左右规则1.严格按照报告或论文格式书写（自查）2.学习报告独立完成，论文可以2~3人合作完成时间两个月完成上交步骤1.明确问题2.制定计划3.收集资料4.获得结论5.书写成文建议论文题目可以自定，也可以选择我们在课堂中提出的合作探究题或是研究性课题。具体要求（二）评价１．客观性评价概念形成，方法运用，解题能力2．发展性评价(1)、学习态度，积极思考，主动参与，合作交流，勤奋刻苦，不畏艰难等方面。(2)、开放性考查课题完成情况。(3)、报告与论文的表述(4)、学习反思与学习方式的改进。衷心感谢大家的合作与支持！