平面向量专题复习知识梳理

高中复习知识梳理之八平面向量一、重点知识（一）基本概念：向量的有关概念有：向量、自由向量、有向线段、位置向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）、数乘向量；基线、单位向量、基向量、基底、正交基底：；向量a在轴l上的正射影、向量a在轴l方向上的数量：；向量的模（或向量的长度）：；（二）向量的基本运算：1.向量的线性运算：加法、减法及数乘向量的综合运算：（1）向量求和的三角形法则：；（2）向量求和的平行四边形法则：；（3）向量求和的多边形法则：；（4）向量减法法则：；结论１在ABC中ACBCAB（加）或BCABAC（减）称ABC为向量三角形；推广可有013221AAAAAAn，称121AAAAn为封闭折线．（5）数乘向量的定义：实数和向量a的乘积是一个向量，记作；其长为；其方向为：；数乘向量的几何意义是：；向量加法满足下列运算律：（1）加法交换律：;(2)加法结合律：；数乘向量满足下列运算律：（1）（2）（3）。如：①在平行四边形ABCD中,已知aAB,bAD,DODM31,OCON31,试用ba,表示MN.②如图，在ABC△中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点MN，，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为．2.向量共线的条件：结论2（平行向量基本定理）向量a与)0(b平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数使ba．特别地，三点CBA、、共线ACAB．3.轴上向量的坐标及其运算：已知轴l，取单位向量e，对于轴l上任意向量a总是存在唯一实数x使得axe，我们称x为向量a在轴l上的坐标（或数量）。设e是轴l的一个基向量，向量AB的坐标为AB，则ABABe；若轴l为x轴，可设点A、B的坐标分别为x1，x2，则向量AB的坐标AB=21xx。4.向量的分解：结论3（平面向量基本定理）设b,a是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量c，存在唯一实数,使bac．这里称为向量c关于基底的分解式。特别地若1，则有①CBACtOBttOAtOC111称为定比分点向量式，也称为直线AB的向量参数方程式；②OBOAOC21称为中点向量式（C为AB中点）．上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：①证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成2∶1的两条线段。②求证ABC三条高CFBEAD、、相交于一点．5.平面向量的坐标运算：对于结论3，若{,}ab是一组单位正交基底，则称(,)是向量c在基底{,}ab下的坐标，记作(,)c。（在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设1212(,),(,)aaabbb，则有：ab；ab；a；(0)abba；6.向量的数量积：结论4两个向量的数量积为cosbaba，其中b,a为两个向量的夹角，其范围为．数量积有如下性质：①cosbaeaebb为方向的单位向量；是点到直线（甚至到平面）距离公式推导的根据；②夹角公式cosabab；（坐标形式）③22aaaa即aaa（用于求模）；④0abab；（坐标形式）⑤.abab（某些不等式放缩证明的根据）数量积的运算律：（1）交换律：；（2）数乘律：；（3）分配律：。（请给出证明）注意：不满足消去律：acbc推不出结论ab，举例：。如：①已知平面上直线l的方向向量e=(-53,54)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为'O和'A，且''AOλe，其中λ=（）A．511B．-511C．2D．-2②模公式22aaaa的应用举例：（1）求证:)|||(|2||||2222bababa，其几何意义是。（2）若3||||||baba,则ba（3）已知2||a,3||b,7||ba,则a与b的夹角为（4）已知cba,,中每两个向量夹角都为120且4||a,6||b,2||c,求||cba值.7.直线:0lAxByC的方向向量v，法向量u，若再已知定点00(,)Pxy，而且点(,)Mxyl，0n是单位法向量，则点P到直线l的距离公式为：。（向量形式）8.结论５：bababa，称为向量三角形不等式．（三）三角形的“四心”与向量1.关于重心G，有重心公式：1()3OGOAOBOC坐标)3,3(CBACBAyyyxxxG，并有性质0GCGBGA；2.关于垂心H，有性质HAHCHCHBHBHA；3.关于外心O，有性质||||||OCOBOA；结论：O、H、G三点共线且OGOH3；此线称为欧拉（Euler）线。（如何证明？）4.关于内心I，经常涉及内角平分线的研究，如)||||(ACACABABAI。如：①已知O，N，P在ABC所在平面内，且,0OAOBOCNANBNC，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心②在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），113BABCBDBABCBD，则四边形ABCD的面积是③设斜ABC△的外接圆圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m=。④O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOAABAC，0,，则P的轨迹一定通过ABC的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心（四）向量与解析几何在解析几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：（1）A、B、C三点共线等价于存在实数，使得OCOAOB（1）；（2）ABC的重心G的坐标公式为13OGOAOBOC．（3）直线的方向向量是什么？给定两点：111222,,,PxyPxy，那么122121,PPxxyy，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：1,tan，也就是说：直线0AxByC的方向向量是,BA，直线的法向量是,AB．例如：已知O为坐标原点，点FE、的坐标分别为)0,1()0,1(和,点QPA、、运动时，满足EPAPAFPQQFAQEFAE//,0,,2，（1）求动点P的轨迹C的方程．（2）设M、N是轨迹C上的两点，若23OMONOE，求直线MN的方程体验练习题一：一、选择题1．已知平面向量a=，b=，则向量()A平行于轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于轴D．平行于第二、四象限的角平分线2．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为()A．6B．2C．D．3．设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．4．设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为()A．B．C．D．5．已知，向量与垂直，则实数的值为（）（A）（B）（C）（D）6．8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF（）A．1142abB．2133abC．1124abD．1233ab7．3．已知平面向量(1,2)a，(2,)bm，且a//b，则23ab＝（）A、(5,10)B、(4,8)C、(3,6)D、(2,4)8．5．已知平面向量(1,3)a，(4,2)b，ab与a垂直，则是()A．1B．1C．2D．29．4．若向量,ab满足||||1ab，a与b的夹角为60，则aaab()A．12B．32C．312D．210．已知平面向量(11)(11)，，，ab，则向量1322ab()Ａ．(21)，Ｂ．(21)，Ｃ．(10)，Ｄ．(12)，11．在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不．成立的是(),1x（）2,xx（－）abxy123,,FFF1F2F0601F2F3F25272BCBABP0PAPB0PCPA0PBPC0PAPBPCab||3a||4b0ababab134563,2,1,0abab2ab17171616（A）2ACACAB（B）2BCBABC（C）2ABACCD（D）22()()ACABBABCCDAB12．已知向量(1)(1,)nn,，ab，若2ab与b垂直，则a()A．1B．2C．2D．4二、填空题1．若平面向量，满足，平行于轴，，则．2．已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积=3．已知向量a和b的夹角为0120，||1,||3ab，则|5|ab．4．已知向量(0,1,1)a，(4,1,0)b，||29ab且0，则=．5．设O、A、B、C为平面上四个点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，且0abc，1abbcca，则abc＝_______．6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF______．（用a,b表示）7.设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin)abc（1）若a与2bc垂直，求tan()值；（2）求||bc的最大值；（3）若tantan16，求证：a∥b.8．已知向量(cos,sin)m和2sin,cos,,2n，且82,5mn求cos28的值.体验练习题二：一、选择题：1．若向量a=（1，2），b=（1，-3），则向量a与b的夹角等于（）A45B60C120D1352．在平面直角坐标系xOy中作矩形OABC,已知3,4ABOA,则AC→·OB→的值为（）A0B7C25D73．向量a→,b→的夹角为120°，│a→│＝│a→│＝2，则a→·（a→－b→）等于（）A324B2C324D64．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意实数t，恒有|a－te||a－e|，则（）A．a⊥eB．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)5．已知，向量与垂直，则实数的值为（）ab1babax)1,2(baab30o||2,||3ababab3,2,1,0abab2ab（A）（B）（C）（D）6．已知向量，如果，那么()A．且与同向B．且与反向C．且与同向D．且与反向7．已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（）A．且c与d同向B．且c与d反向C．且c与d同向D．且c与d反向二．填空题：8．已知向量2411，，，a=b=．若向量()ba+b，则实数的值是；9．设O为坐标原点，向量．将绕着点按逆时针方向旋转得到向量,则的坐标为____________．10．设集合{D平面向量}，定义在D上的映射f，满足对任意xD，均有f(x)=x（R且0）．若︱a︱=︱b︱且a、b不共线，则〔f(a)f(b)〕（a+b）=________；若)8,4(),6,3(),2,1(CBA，且ABBCf)(，则_______．11．若把函数3)2(log2xy的图象按向量a平移，得到函数1)1(log2xy的图象，则向量a的坐标为．12．设向量,0),cos,(sin),0,1(ba则ba的最大值为_________．13．已知向量，如果，那么()A．且与同向B．且与反向C．且与同向D．且与反向14．已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果c