第6章-模拟滤波器设计

第6章模拟滤波器设计6.1滤波的基本概念6.2模拟滤波器的设计原理6.3典型的模拟滤波器本章内容参考：郑君里等《信号与系统（第二版）》下册第十章模拟与数字滤波器MATLAB:SignalProcessingToolbox6.1滤波器的基本概念（1）滤波与滤波器滤波技术是信号处理的一种基本而重要的技术。采用这种技术，可以从信号中提取所需要的部分，抑制不需要的部分。所谓信号处理，在一般情况下，就是指对信号进行滤波（filter）。对信号进行滤波的系统，称为滤波器（filter）。英汉双解词典对filter的解释：filter：滤光器，滤色镜，滤波器，n.vt.vi.Anyofvariouselectric,electronic,acoustic,oropticaldevicesusedtorejectsignals,vibrations,orradiationsofcertainfrequencieswhilepassingothers.一种电学的、电子学的、声学的或光学的设备，用于在通过其它物时限制特定频率的信号、振动或放射。滤波器是一种频率选择装置，可以使输入信号中的某些特定频率范围的分量通过，阻止或较大地衰减输入信号中的其他频率范围的分量，所以又称为频率选择性滤波器。滤波器的这种频率选择特性，由滤波器的频率特性H(jω)来决定。频率特性：频率特性：幅频特性：相频特性：jssHjH)()()()()(jejHjH)(jH)(（2）滤波器的分类从不同的角度，可以对滤波器进行不同的分类。根据所处理的信号类型的不同，可以将滤波器分为模拟滤波器和数字滤波器两大类。■模拟滤波器是连续时间系统，用来处理模拟信号或连续时间信号。■数字滤波器是离散时间系统，用来处理数字信号或离散时间信号。模拟滤波器设计是数字滤波器设计的基础。根据滤波器的频率选择作用的不同，可以将滤波器分为以下4类：■低通滤波器(lowpassfilter)■高通滤波器(highpassfilter)■带通滤波器(bandpassfilter)■带阻滤波器(bandstopfilter)其中低通滤波器是基础，其他3类滤波器均可以从低通滤波器转化而来。低通高通带通带阻（3）理想低通滤波器理想低通滤波器的频率特性：理想低通滤波器的幅频特性：理想低通滤波器的相频特性：0)(tjeH其它,0,1)(ccjH0)(t理想低通滤波器的幅频特性：矩形窗。理想低通滤波器的相频特性：线性相位。相关概念的定义：■通带：0ωωc■阻带：ωωc■截止频率：ωcccjH000t因为理想低通滤波器的单位脉冲响应函数是非因果、无限长的函数（从傅里叶变换的性质即可看出）。所以，实际上，理想低通滤波器在物理上是无法实现的。因此，设计滤波器的核心问题，就是求出一个在物理上可以实现的系统H(s)，使其频率特性H(jω)尽量逼近理想低通滤波器的频率特性，以满足所给定的滤波参数的要求。ccjH000t（4）实际低通滤波器的性能指标通带0ωωp中，pppjH,1)(1阻带ωsω中，ssjH,)(0ωp:通带截止频率ωs:阻带截止频率p:通带波纹s:阻带波纹p:通带峰值波纹s:最小阻带衰减dBpp)1(log2010dBss10log20实际低通滤波器的性能指标：只考虑幅频特性，不考虑相频特性。通带:使信号通过的频带。阻带：抑制噪声通过的频带。过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围。ωc：截止频率，半功率点，功率衰减1/2，-3db衰减点，幅值衰减理想低通滤波器：过渡带为零，阻带内幅值|H(jω)|=0，通带内幅值|H(jω)|=常数，H(jω)的相位是线性的。216.2模拟滤波器的设计原理根据拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系，可得从模拟滤波器的传递函数H(s)来确定模拟滤波器的频率特性H(jω)的方法：jssHjH)()(所谓模拟滤波器的设计问题，就是已知模拟滤波器的频率特性H(jω)，进而确定模拟滤波器的传递函数H(s)。解决方法：在一定的前提条件下，从频率特性H(jω)的模的平方函数|H(jω)|2，可以确定模拟滤波器的传递函数H(s)。j000jssHjH)()(现在需要解决的就是这样一个相反的问题：如何从模拟滤波器的频率特性H(jω)来确定模拟滤波器的传递函数H(s)？非常困难。模拟滤波器的设计，就是根据一组设计规范，设计模拟滤波器的系统函数H(s)，使其近似某个理想的滤波器特性H(jω)。针对所分析的模拟滤波器进行一些必要的限制和假设，才有可能确定模拟滤波器的传递函数H(s)。假设一：假设所分析的模拟滤波器为因果系统。此时可以得到一些有用的结论。如果系统满足此条件，那么可以得到下面的重要结论。在因果系统中，系统单位脉冲响应函数h(t)的傅里叶变换就是系统的频率特性H(jω)其中单位脉冲响应函数h(t)一般是实函数。因为0)()(dtethjHtj0sincosdttjtthjH00sincossincosdttjtthdttjtthjH0*sincosdttjtthjH即频率特性H(jω)的翻转H(-jω)与其共轭H*(jω)相等。此结论为实函数的傅里叶变换的重要结论。所以可得jHjH*假设二：假设所分析的模拟滤波器的频率特性H(jω)的模的平方函数|H(jω)|2可以表示为频率ω的平方ω2的函数。如果频率特性H(jω)满足此条件，那么则有jssHsHjHjHjHjHjHAA)()()()()()()()()(*222222,jsjs所以有又因为jssAA)()(22现在的问题是：如何由A(-s2)得到H(s)？)1()()()(2jsjssAsHsH进而有假设三：假设所分析的模拟滤波器为稳定系统。如果系统满足此条件，那么可以进行以下的一些推断。对于给定的A(-s2)，首先在s复平面上标出A(-s2)的极点和零点。由(1)式知，A(-s2)的极点和零点总是成对出现，而且对称于s平面的实轴和虚轴。选用A(-s2)的对称极点和零点的任意一半作为H(s)的极点和零点，则可得到H(s)。)1()()()(2jsjssAsHsHh(t)是实函数H(s)H(-s)的零、极点分布)1()()()(2jsjssAsHsH根据系统的稳定性判据，当极点位于左半平面时，则系统稳定。为了保证系统H(s)的稳定性，应当选用A(-s2)在s平面的左半平面的极点作为H(s)的极点，而零点则可以选用任何一半的零点。进一步说明：（1）极点的归属：为了保证系统H(s)的稳定性，如果位于左半平面，则此极点归H(s)。如果位于右半平面，则此极点归H(-s)。（2）零点的归属：零点的归属不唯一，但是一般与极点相同，即左半平面归H(s)，右半平面归H(-s)，则得到的系统为最小相位系统。（3）从频率特性H(jω)的模的平方函数|H(jω)|2来确定模拟滤波器的传递函数H(s)，因为只考虑了幅频特性，并没有考虑相频特性，所以丢失了相频特性的信息。这就是这种设计方法的缺陷。)16)(9(25)(222A例：已知模的平方函数为：确定系统的传递函数。解：)4)(4)(3)(3(25)16)(9(25)()()(222sssssssAsHsH222jsjs系统无零点，有4个极点：4,4,3,34321ssss4,342ss极点位于左半平面，归H(s)4,331ss极点位于右半平面，归H(-s)确定比例增益常数K*K=25，得K=5。所以系统函数为)4)(3(5)(sssH该系统为低通滤波器，由两个一阶惯性环节和一个比例环节串联组成。2222216(25)()()(49)(36)HjHs已知模的平方函数：，求系统函数。例：解：222222216(25)()()()(49)(36)ssHsHsHjss7,6ss极点：零点：（二阶）5sj零点：5sj7,6ss的极点：()Hs设增益常数为K020(25)()(7)(6)KsHsss000164KKK由，得2224(25)4100()(7)(6)1342ssHsssss6.3典型的模拟滤波器三种典型的模拟滤波器：(1)巴特沃兹滤波器（ButterworthFilter）(2)切比雪夫滤波器（ChebyshevFilter）(3)椭圆滤波器（EllipticFilter）这三种著名滤波器的特点：性能良好、理论完善。本节内容主要参考：MATLAB:SignalProcessingToolbox6.3.1巴特沃兹滤波器(ButterworthFilter)Butterworthfiltersarecharacterizedbyamagnituderesponsethatismaximallyflatinthepassbandandmonotonicoverall.Inthelowpasscase,thefirst2N-1derivativesofthesquaredmagnituderesponsearezeroatω=0.ThesquaredmagnituderesponsefunctionisNcjH211NcjH2211其中ωc为有效通带的截止频率。N为滤波器的阶数。并可称为N阶巴特沃斯低通滤波器。ButterworthFilterN阶巴特沃斯低通滤波器的特点：（1）ω=0处的最大平坦幅频特性，前2N-1阶导数为0。（2）-3dB截止频率（参数ωc），半功率点。带宽，半功率点。截止频率，：dBdBdBjHGcc33321log10)(log10)(c10210（3）幅频特性的陡峭程度由阶数N决定。（4）幅频特性单调下降。012300.20.40.60.81WMagnitudeButterworthFilterN=2N=4N=10幅频响应121212211,2,...,2NkckjNcsjekNN阶巴特沃斯低通滤波器没有零点，是一个全极点滤波器。可以证明，H(s)H(-s)的2N个极点为N阶巴特沃斯低通滤波器的H(s)H(-s)的2N个极点的分布特点：（1）2N个极点在s平面呈象限对称分布，均匀分布在Buttterworth圆上。（2）极点间的角度间隔为。（3）极点不在虚轴上。（4）当N为奇数时，实轴上有极点。（5）当N为偶数时，实轴上无极点。()radNH(s)H(-s)的零、极点分布(a)N=3(三阶)，H(s)H(-s)的6个极点对称分布。(b)N=4(四阶)，H(s)H(-s)的8个极点对称分布。MATLABFunction1:buttapFunctionName:AnalogLowpassFilterPrototypesPurpose:ButterworthanaloglowpassfilterprototypeSyntax:[z,p,k]=buttap(n)Description:[z,p,k]=buttap(n)returnsthepolesandgainofanordernButterworthanaloglowpassfilterprototype.Thefunctionreturnsthepolesinthelengthncolumnvectorpandthegaininscalark.zisanemptymatri