1.3简单曲线的极坐标方程-课件2-(新课标人教A版选修4-4)

课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接【课标要求】1．了解极坐标方程的意义．2．掌握直线和圆的极坐标方程．3．能够根据极坐标方程研究有关数学问题．【核心扫描】1．极坐标方程与直角坐标方程的互化．(重点)2．能用曲线的极坐标方程解决相关问题．(难点)第三节简单曲线的极坐标方程课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程_____________，并且坐标适合方程_____________的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．自学导引f(ρ，θ)＝0f(ρ，θ)＝0课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接2．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆________(0≤θ2π)圆心为(r，0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ－π2≤θ≤π2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θπ)ρ＝r课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接过极点，倾斜角为α的直线(1)________(ρ∈R)或___________(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a，0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a－π2θπ2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0θπ)θ＝αθ＝π＋α课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接名师点睛1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点Mπ4，π4可以表示为π4，π4＋2π或π4，π4－2π或－π4，5π4等多种形式，其中，只有π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常利用三角形和正弦定理．3．在进行两种坐标间的互化时，我们要注意：(1)互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定在0≤θ2π，ρ0范围内求值．(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简．(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形；否则，不是等价变形．课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接【思维导图】课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接题型一圆的极坐标方程【例1】在极坐标系中，求半径为r，圆心为Cr，3π2的圆的极坐标方程．[思维启迪]解答本题先设圆上任意一点M(ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的极坐标方程，化简即可．课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接解由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA，在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2rcos3π2－θ，∴ρ＝－2rsinθ，经验证，点O(0，0)，A2r，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsinθ.【反思感悟】求轨迹方程时，我们常在三角形中利用正弦定理找到变量ρ，θ的关系．在圆的问题中，经常用到直角三角形中的边角关系．课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接在圆心的极坐标为A(4，0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．【变式1】解设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点．连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cosθ，得ρ0＝8cosθ0.所以2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ.故所求轨迹方程是ρ＝4cosθ.它表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆．课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接题型二射线或直线的极坐标方程【例2】求过点A(1，0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．[思维启迪]解答本题先设直线上任意一点M(ρ，θ)，建立等式转化为关于ρ，θ的方程，再化简即可．解法一设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点，则∠xAM＝π4，∠OAM＝3π4，∠OMA＝π4－θ，在△OAM中，由正弦定理得|OM|sin∠OAM＝|OA|sin∠OMA，课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接即ρsin3π4＝1sinπ4－θ，∴ρsinπ4－θ＝22，ρ(sinπ4cosθ－cosπ4sinθ)＝22，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验点A(1，0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θπ4(ρ≥0)和5π4θ2π(ρ≥0)．课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接【反思感悟】法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．法二以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy，直线的斜率k＝tanπ4＝1，直线方程为y＝x－1，将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入上式，得ρsinθ＝ρcosθ－1，∴ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θπ4(ρ≥0)和5π4θ2π(ρ≥0)．课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接【变式2】求过A2，π4平行于极轴的直线方程．解如图所示，在直线l上任意取点M(ρ，θ)．∵A2，π4，∴|MH|＝2·sinπ4＝2，在Rt△OMH中，|MH|＝|OM|sinθ，即ρsinθ＝2，所以，过A2，π4平行于极轴的直线方程为ρsinθ＝2.课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接将下列直角坐标方程与极坐标方程互化．(1)直线x＋y＝0；(2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；(3)ρcosθ＝2；(4)ρ＝2cosθ；(5)ρ2cos2θ＝2.[思维启迪](1)(2)用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线(含直线)的直角坐标方程，再化简即可．(3)(4)(5)利用公式ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y等代入曲线的极坐标方程，再化简方程．题型三直角坐标方程与极坐标方程的互化【例3】课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＋2ax＝0得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosθ＝0，即ρ(ρ＋2acosθ)＝0，∴ρ＝－2acosθ，所以圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2acosθ.解(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x＋y＝0得ρcosθ＋ρsinθ＝0，∴ρ(cosθ＋sinθ)＝0，∴tanθ＝－1，∴θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．综上所述，直线x＋y＝0的极坐标方程为θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接(3)∵ρcosθ＝2，∴x＝2.(4)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.(5)∵ρ2cos2θ＝2，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝2，即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝2，∴x2－y2＝2.【反思感悟】在实践中，由于问题的需要和研究的方便，常需把这两种坐标进行换算，我们有必要掌握这两种坐标间的互化．在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接(1)将x2－y2＝a2化为极坐标方程；(2)将ρ＝2asinθ化为直角坐标方程．【变式3】(3)将θ＝π3化为直角坐标方程．解(1)直接代入互化公式，ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝a2，∴ρ2cos2θ＝a2，这就是所求的极坐标方程．(2)两边同乘以ρ得ρ2＝2a×ρsinθ.∴x2＋y2＝2ay，这就是要求的直角坐标方程．(3)tanθ＝yx，∴tanπ3＝yx＝3，化简得y＝3x(x≥0)．课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接(2010·北京高考)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()．A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一个射线D．一条直线和一条射线解析由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π，其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．答案C高考在线——极坐标方程的应用【例1】点击1考查极坐标方程的意义课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接(2010·广东高考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．点击2极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】解析曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的直角坐标方程分别为x＋y＝1和y－x＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0，1)，化为极坐标为1，π2.答案1，π2课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接【例3】点击3极坐标方程的应用(2009·上海高考)在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成图形的面积是________．解析θ＝0，θ＝π3，ρcosθ＋ρsinθ＝1三直线对应的直线坐标方程分别为：y＝0，y＝3x，x＋y＝1，作出图形得围成的图形为如图△OAB，S＝3－34.答案3－34课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接【例4】(2009·辽宁理)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解(1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接(2)M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为0，233.所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接单击此处进入知能提升演练课前自主学习课堂讲练互动知能提升演练教材超级链接[P15思考]在例3中，如果以极点为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，那么直线l的直角坐标方程是什么？比较直线l的极坐标方程与直角坐标方程，你对不同坐标系下的直线方程有什么认识？答P点坐标(ρ1cosθ1，ρ1sinθ1)，当α≠π2时，直线方程为y－ρ1sinθ1＝tanα(x－ρ1cosθ1)，即x·tanα－y－ρ1cosθ1·ta