巧用三余弦定理解题

AOPlBAO12PQ巧用“三余弦定理”解题“三余弦定理”的内容：如图１，直线AO是平面的斜线，AQ是AO在平面内的射影，直线AP在平面内.设21,,QAPOAQOAP，有以下结论：21coscoscos.我们可以形象地把这个结论称为“三余弦定理”，应用“三余弦定理”可以使我们的很多立体几何问题的解决变得简单.图１应用“三余弦定理”解题的步骤如下：1.明确三线：平面内的直线（以下简称“内线”），平面的斜线和斜线在平面内的射影.2.明确三角：斜线与“内线”所成为，斜线与射影所成的角为1，射影与“内线”所成的角为2.3.定理运算.例1.如图２,已知AO是平面的一条斜线,OB⊥,B是垂足,AP是内一直线,∠OAP=60o,∠BAP=45o,求斜线AO与平面所成的角.分析：AP是“内线”，AO是斜线，AB是射影，所以21,,BAPOABOAP，直接利用“三余弦定理”求解.解题过程略.略解：点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角，明确了“三线”与“三角”，直接代定理求解.图２变式1：已知∠OAB=45o,∠BAP=45o,求直线AO与AP所成的角；分析：同例1.变式2：已知∠OAB=45o,∠BAP=45o,l//AP,求直线AO与l所成的角；分析：因为l//AP，直线AO与AP所成的角同AO与l所成的角相等.我们在解题时，只需要明确“三线”，这时l是“内线”，AO是斜线，AB是射影，然后斜线AO与“内线”l所成为，斜线AO与射影AB所成的角为1，射影AB与“内线”l所成的角为2,问题迎刃而解.例2．如图３，在棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和CC1的中点，求异面直线A1B与EF所成角的余弦值.C1ABCDA1B1D1FEPABCDE分析：直线BA1是平面BCC1B1的斜线，BB1是射影，EF为“内线”，这样就明确是三线，再明确三角，然后定理计算即可.解：由题意可知，直线BA1是平面BCC1B1的斜线，BB1是BA1在平面内的射影，EF为平面内的直线，所以BA1与EF所成的角为，111BCA，EF与BB1所成的角为2图３又因为21coscoscos，451，452，所以21cos即异面直线A1B与EF所成角的余弦值为21点评：只要明确了“三线”，不管他们的位置怎样，斜线与“内线”所成为，斜线与射影所成的角为1，射影与“内线”所成的角为2，明确了“三角”，公式的应用水到渠成.变式：若E、F是B1C1和CC1上的点，满足EC1=31，FC1=33，求异面直线A1B与EF所成角的余弦值.分析：明确“三线”，直线BA1是斜线，BB1是射影，EF为“内线”，然后按规则找出“三角”，定理计算即可.图４图５练习：1.如图４，S是△ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，求证：△ABC是锐角三角形2.如图５，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90o，AD//BC，AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30o，且AE⊥PD，E为垂足,求异面直线AE与CD所成角的大小“三余弦定理”是一个容易让人忽视的问题，可能有一些同学的记忆中几乎没有它的位置.但如果我们能够准确的理解这个定理，并巧用定理去解题，就会取得事半功倍的效果，提高解题的速度并最终取得理想的成绩.所以要深刻理解“三余弦定理”应用的几个典型的例题，然后举一反三，学以致用.BACS