第六章自旋和角动量习题

第六章自旋和角动量一、填空1.______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验，____和____提出了电子具有自旋角动量的说法.2.在的共同表象中，算符对应的矩阵分别是_____、_____和),ˆ(x2zyx、、_____.二、概念与名词解释1.电子自旋2.泡利矩阵3.无耦合表象，耦合表象4.塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应三、计算1.求自旋角动量算符在(cosα,cosβ,cosγ)方向的投影Sn=Sxcosα+Sycosβ+Szcosγ的本征值和相应的本征矢.在其两个本征态上，求Sz的取值概率及平均值.2.求下列状态中算符的本征值：)SLJ(J,Jz2).,()Y(S(4)),()Y(S),()Y(S231/(3)),()Y(S),()Y(S231/(2)),()Y(S(1)1-1z1/2-41-1z1/210z1/2-311z1/2-10z1/2211z1/213.对自旋态.)S()S(,01)(S2y2x21/2求4.一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系.已知粒子1处在S1z=1/2的本征态，粒子2处在S2x=1/2的本征态，取ħ＝1，求体系总自旋S2的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率.5.考虑三个自旋为1／2的非全同粒子组成的体系.体系的哈密顿量是A、B为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体,S)SSB(SSAH32121系的能级和简并度(取ħ＝1为单位).6.设氢原子处于状态求轨道角动量z分量和自旋z,)/2,((r)YR3-)/2,((r)YR)r(10211121分量的平均值，进而求出总磁矩的z分量的平均值.c/Se-c/2L-e7.设总角动量算符为，记算符J2与Jz的共同本征函数为|jm，当j=1时Jˆ(1)写出J2、Jx的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1mxx；(2)若体系处于状态求同时测量J2与Jx的取值概率；,2]/1-111[(3)在|ψ状态上，测量Jz得ħ时，体系处于什么状态上；在|ψ状态上，计算Jy的平均值.8.在激发的氦原子中，若两个电子分别处于p态和s态，求出其总轨道角动量的可能取值.9.用柱坐标系，取磁场方向沿z轴方向，矢势Aφ=Bρ/2，Aρ=Az=0，求均匀磁场中带电粒子的本征能量.10.自旋为1/2的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足Bx=Bsinθcosωt，By=Bsinθsinωt，Bz＝Bcosθ.设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2，求在时刻t粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率.11.带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=meω02r2/2中运动，求粒子的能谱.12.自旋为ħ/2的粒子处于线谐振子位势中，t=0时粒子处于状态求t0时的波.)/3(S(x)2)/3(S(x)2-)/3(S(x),0)S(x,z1/21z1/2-1z1/20z函数及能量的取值概率与平均值.为该线谐振子的第n个本征态.(x)n13.设体系由两个自旋为ħ/2的非全同粒子构成，若体系处于两个粒子的自旋状态分别为|χ1、|χ2的状态中，分别求出体系处于单态与三重态的概率.其中./2)exp(isin/2)exp(-icos;012114.两个自旋为ħ/2的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子之间的相互作用为其中c是常数.设t=0时粒子1的自旋沿z轴正方向，粒子2,SˆSˆc21的自旋沿z轴负方向，求t0时测量粒子1的自旋仍处于z轴正方向的概率.四、证明1.设是与泡利算符对易的两个矢量算符，证明BˆAˆ、)BˆAˆ(ˆiBˆAˆ)Bˆˆ)(Aˆˆ(2.如果ψm是Lz的本征态，满足本征方程Lzψm＝mħψm，现在将z轴转一个角度θ，变成z＇轴，求证：Lz’=mħcosθ.3.设求证：,JJJ21(1)即J1z的矩阵对于量子数m是对角化的；,jmJmj'jmJm'j'1z1z(2);jmJ1mj'jmJm'j'1mm'11(3)当时，1j'-j.0jmJm'j'14.对于两个自旋1/2的粒子组成的体系，证明张量算符和S2及对易.为总自旋，是总角动量，2122112-)/rr)(r3(SJSJ是体系的轨道角动量，在质心坐标系中，的算符形式是LLSJ，L.21rrr,riprL五、综合题1.在σz表象中，写出算符的矩阵形式，并证2/)ˆiˆ(ˆ2/)ˆ1(Qˆyxz和明如下关系成立：.ˆˆˆ-ˆˆ;Qˆˆˆ;Qˆˆˆ0;ˆˆ;0abaQˆ;0abaQˆ0;QˆQˆQˆQˆ;QˆQˆ;QˆQˆ1;QˆQˆz-----2-2----2-2--2.证明并由此求出的本征值.,)ˆˆ2(-3)ˆˆ(2122121ˆˆ3.对于两个自旋为1/2的粒子组成的体系，令取ħ＝1，定义张量算符)r(/rre,r-rrr21，方向上的单位矢量21r2r112-)e)(e3(S(1)证明(S12)2=4S2-2S12，是总自旋.再进而证明S12的任意正整数次幂均可表示S为S12和S2的线性组合；(2)求S12的本征值；(3)令机会均等地经历各种方向，求S12的平均值.re4.氘是质子和中子的束缚态，其总角动量J＝1.现已知它主要是由S(l=0)态组成并且有很少的D(l=2)态参与进来：(1)解释为什么P态不能参与？(2)解释为什么G态不能参与？(3)计算n-p体系(总角动量J=1)处在纯D态时的磁矩.假设n和p自旋耦合形成总自旋，然后总自旋在与轨道角动量耦合形成总角动量，用核磁子表示SLJ你的结果.已知质子和中子的磁矩分别示2.79和－1.91核磁子.5.在的态中2121mmm,JJJ(1)若j1=1,j2=1/2,j=3/2,m=1/2,求克莱布希－戈尔登系数；(2)考虑下列反应：(a)π+p→π+p(b)π－p→π－p(c)π－p→π0n这些同位旋守恒的反应能在同位旋I=3/2的Δ共振态或在I=1/2的N*共振态中产生，试分别就对应于Δ共振和N*共振的能量计算截面比σa、σb、σc.在一个共振能处可忽略其他同位旋态产生的影响，π介子的同位旋是I=1态，核子的同位旋是I=1/2态.6.一个π－介子(赝标粒子、自旋为零、奇宇称)最初被束缚在氘核周围，并处在最低库仑能态上.它被氘核(一质子和一中子处在3S1态中)俘获，并使氘核转变为一对中子π－+d→n+n(1)中子对的轨道角动量和总自旋角动量是多少？(2)发现两个中子的自旋均与氘核的自旋相反的概率是多少？(3)如果氘核的自旋在最初全部指向方向，发现自旋反向的中子的发射概率(单Rˆ位立体角)的角分布是多少？7.讨论一个中性粒子，它的内禀角动量是其中S=ħ/2，即它是一个自,1)S(S旋为1/2的粒子.假设这粒子有一磁矩γ是一个常数.这个粒子的量,SM子态可用自旋空间描述.它的基矢是Sz的两个本征态|+和|－，分别代表其自旋方向平行和反平行于z轴，即有Sz|+=ħ/2|+，Sz|－=－ħ/2|－.在t=0时，体系状态是|ψ(t=0)=|+.这一粒子沿y轴运动，通过一沿y轴方向的均匀磁场.jBB0(1)求|ψ(t)，用|+和|－来表示.(2)Sx、Sy、Sz作为时间函数的表达式.