定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案例1求33322321lim(2)nnnnn．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n等分，则每个小区间长为1ixn，然后把2111nnn的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)nnnnn=333112lim()nnnnnn=13034xdx．例22202xxdx=_________．解法1由定积分的几何意义知，2202xxdx等于上半圆周22(1)1xy(0y)与x轴所围成的图形的面积．故2202xxdx=2．解法2本题也可直接用换元法求解．令1x=sint（22t），则2202xxdx=2221sincosttdt=22021sincosttdt=2202costdt=2例3（1）若22()xtxfxedt，则()fx=___；（2）若0()()xfxxftdt，求()fx=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()vxuxdftdtfvxvxfuxuxdx．解（1）()fx=422xxxee；（2）由于在被积函数中x不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xfxxftdt，则可得()fx=0()()xftdtxfx．例4设()fx连续，且310()xftdtx，则(26)f=_________．解对等式310()xftdtx两边关于x求导得32(1)31fxx，故321(1)3fxx，令3126x得3x，所以1(26)27f．例5函数11()(3)(0)xFxdtxt的单调递减开区间为_________．解1()3Fxx，令()0Fx得13x，解之得109x，即1(0,)9为所求．例6求0()(1)arctanxfxttdt的极值点．解由题意先求驻点．于是()fx=(1)arctanxx．令()fx=0，得1x，0x．列表如下：故1x为()fx的极大值点，0x为极小值点．例7已知两曲线()yfx与()ygx在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin0()xtgxedt，[1,1]x，试求该切线的方程并求极限3lim()nnfn．分析两曲线()yfx与()ygx在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)fg，(0)(0)fg．解由已知条件得200(0)(0)0tfgedt，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知2(arcsin)20(0)(0)11xxefgx．故所求切线方程为yx．而3()(0)3lim()lim33(0)330nnffnnffnn．例8求22000sinlim(sin)xxxtdttttdt；分析该极限属于00型未定式，可用洛必达法则．解22000sinlim(sin)xxxtdttttdt=2202(sin)lim(1)(sin)xxxxxx=220()(2)limsinxxxx=304(2)lim1cosxxxx(,0)0(0,1)1(1,)()fx-0＋0－=2012(2)limsinxxx=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例9试求正数a与b，使等式20201lim1sinxxtdtxbxat成立．分析易见该极限属于00型的未定式，可用洛必达法则．解20201limsinxxtdtxbxat=220lim1cosxxaxbx=22001limlim1cosxxxbxax201lim11cosxxbxa，由此可知必有0lim(1cos)0xbx，得1b．又由2012lim11cosxxxaa，得4a．即4a，1b为所求．例10设sin20()sinxfxtdt，34()gxxx，则当0x时，()fx是()gx的（）．A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．解法1由于22300()sin(sin)coslimlim()34xxfxxxgxxx2200cossin(sin)limlim34xxxxxx22011lim33xxx．故()fx是()gx同阶但非等价的无穷小．选B．解法2将2sint展成t的幂级数，再逐项积分，得到sin223370111()[()]sinsin3!342xfxttdtxx，则344340001111sin(sin)sin()1342342limlimlim()13xxxxxxfxgxxxx．例11计算21||xdx．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解21||xdx＝0210()xdxxdx＝220210[][]22xx＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如33222111[]6dxxx，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x在0x处间断且在被积区间内无界.例12设()fx是连续函数，且10()3()fxxftdt，则()________fx．分析本题只需要注意到定积分()bafxdx是常数（,ab为常数）．解因()fx连续，()fx必可积，从而10()ftdt是常数，记10()ftdta，则()3fxxa，且1100(3)()xadxftdta．所以2101[3]2xaxa，即132aa，从而14a，所以3()4fxx．例13计算2112211xxdxx．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解2112211xxdxx=211112221111xxdxdxxx．由于22211xx是偶函数，而211xx是奇函数，有112011xdxx,于是2112211xxdxx=2102411xdxx=22120(11)4xxdxx=11200441dxxdx由定积分的几何意义可知12014xdx,故2111022444411xxdxdxx．例14计算220()xdtfxtdtdx，其中()fx连续．分析要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x，然后再求导．解由于220()xtfxtdt=22201()2xfxtdt．故令22xtu，当0t时2ux；当tx时0u，而2dtdu，所以220()xtfxtdt=201()()2xfudu=201()2xfudu，故220()xdtfxtdtdx=201[()]2xdfududx=21()22fxx=2()xfx．错误解答220()xdtfxtdtdx22()(0)xfxxxf．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xadxftdtfxdx中要求被积函数()ft中不含有变限函数的自变量x，而22()fxt含有x，因此不能直接求导，而应先换元．例15计算30sinxxdx．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解30sinxxdx30(cos)xdx3300[(cos)](cos)xxxdx30cos6xdx326．例16计算120ln(1)(3)xdxx．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解120ln(1)(3)xdxx=101ln(1)()3xdx=1100111[ln(1)]3(3)(1)xdxxxx=101111ln2()2413dxxx11ln2ln324．例17计算20sinxexdx．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于20sinxexdx20sinxxde2200[sin]cosxxexexdx220cosxeexdx，（1）而20cosxexdx20cosxxde2200[cos](sin)xxexexdx20sin1xexdx，（2）将（2）式代入（1）式可得20sinxexdx220[sin1]xeexdx,故20sinxexdx21(1)2e．例18计算10arcsinxxdx．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解10arcsinxxdx210arcsin()2xxd221100[arcsin](arcsin)22xxxdx21021421xdxx．（1）令sinxt，则21021xdxx2202sinsin1sintdtt220sincoscosttdtt220sintdt201cos22tdt20sin2[]24tt4．（2）将（2）式代入（1）式中得10arcsinxxdx8．例19设()fx[0,]上具有二阶连续导数，()3f且0[()()]cos2fxfxxdx，求(0)f．分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于0[()()]cosfxfxxdx00()sincos()fxdxxdfx0000{()sin()sin}{[()cos]()sin}fxxfxxdxfxxfxxdx()(0)2ff．故(0)f2()235f．例20计算2043dxxx．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解2043dxxx=20lim43ttdxxx=0111lim()213ttdxxx=011lim[ln]23ttxx=111lim(lnln)233ttt=ln32．