3第二章平稳随机过程

第二章：平稳随机过程严平稳过程的定义宽平稳过程的定义平稳过程的数字特征平稳过程自相关函数的性质时间平均和集合平均的概念平稳过程遍历性定义遍历性判定定理遍历性应用举例平稳随机过程是一类应用广泛的随机过程，在稳定系统中出现的随机过程都属于平稳随机过程。例如：纺织过程中棉纱横截面积的变化；军舰在海浪中的颠簸；电阻的热噪声；这些随机现象的特点是：统计特性不随时间的推移而变化。严平稳过程的定义设{X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n，t1,t2,…,tn∈T，t1+τ,t2+τ,…,tn+τ∈T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))与(X(t1+τ),X(t2+τ),…,X(tn+τ))有相同的联合分布，则称{X(t),t∈T}为严平稳过程或狭义平稳过程。严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。当产生随机现象的一切主要条件可以视为不随时间的推移而改变时,这类过程可以看作为平稳的.例如:电子管中散弹效应引起的电路中的噪声电压;通信,自动控制等领域的许多过程都可以认为是平稳随机过程。均值mX(t)=E[X(t)];均方值φX(t)=E[X2(t)]；方差D[X(t)]=E[X2(t)]-[E(X(t))]2=φX(t)-mX2(t);自相关函数RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]；协方差函数Cov(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2)平稳过程的数字特征对于平稳随机过程X(t)的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+τ)，若令τ=-t1，则F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1)(1)因此平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。1()()XXmtxfxdxm2221()[()]()xtEXtxfxdx常数[()]DXt常数(2)若随机过程X(t)平稳过程，则其均值、均方值和方差均为常数。(3)对于平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ε,t2+ε)，若令ε=-t1，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1=τ，则：F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;τ)12212121221212(,)[()()](,;,)(,;)()XXRttEXtXtxxfxxttdxdxxxfxxdxdxR(4)平稳过程的自相关函数是时间τ的单变量函数。同理，协方差函数是时间τ的单变量函数宽平稳过程的定义设{X(t),t∈T}是随机过程，如果1.{X(t),t∈T}是二阶矩过程；2.对任意t∈T，mX(t)=EX(t)=常数；3.对任意s,t∈T，RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(s-t)则称{X(t),t∈T}为广义平稳过程或宽平稳过程。严平稳过程和宽平稳过程的关系（1）宽平稳过程不一定是严平稳过程（2）严平稳过程只有当二阶矩存在时为宽平稳过程（3）但是对于正态过程，其分布由均值和自相关函数完全确定，二者是等价的。例题1：设Y是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和X(t)=tY的平稳性。例题2：设{Xt，t=0,±1,±2,…}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xt]=0,D[Xt]=σ2。试讨论随机序列X(t)=Xt的平稳性。例题3：设S(t)是一周期为T的函数，θ在(0,T)上均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周期过程，讨论其平稳性。例题4：随机过程X(t)只取+I和-I，且P{X(t)=+I}=P{X(t)=-I}=1/2，而正负号在(t,t+τ)的变化次数N(t,t+τ)是随机的，且事件AK={N(t,t+τ)=k}的概率为,2,1,0,!|)|()(||kekAPkk试讨论X(t)的平稳性。联合平稳过程])()([tYtXE设{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}是两个平稳过程，若它们的互相关函数和仅与τ有关，而与t无关，则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。])()([tXtYE当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。设{x(t),t∈T}为平稳过程，则其相关函数具有下列性质：（1）（2）（3）平稳过程自相关函数的性质0)0(XR()(),()(),XXXXRRBB(0)|()|XXRR(4)若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则RX(τ)=RX(τ+T)；(5)若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当|τ|→∞时，X(t)与X(t+τ)相互独立，则平稳过程自相关函数的性质2||lim()XXRm已知平稳随机过程的自相关函数为:求其均值和方差.习题:24()3615XR随机分析在普通函数的微积分中，连续、导数和积分的概念是建立在极限概念的基础上。对于随机过程，随机过程的连续性、导数和积分的等概念都是建立在随机序列极限的基础上。这部分内容称为随机分析。处处收敛对于概率空间(Ω,F,P)上的随机序列{Xn}每个试验结果e都对应一序列，如果该序列对每个e都收敛，则称随机序列{Xn}处处收敛，即满足XXnnlim其中，x为随机变量。以概率1收敛二阶矩随机序列{Xn(e)},二阶矩随机变量X(e),若1)}()(lim:{eXeXePnn称Xn(e)以概率1收敛于随机变量X，或称{Xn(e)}几乎处处收敛于X(e)，记作XXean.依概率收敛若对于任给ε0，有0]|)()({|limeXeXPnn称二阶矩随机序列Xn依概率收敛于二阶矩随机变量X，记作:(probability收敛)XXPn设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有0]|[|lim2XXEnn成立，则称{Xn}均方收敛于X，记作:(Mean-square收敛)XXsmn.均方收敛二阶随机序列{Xn}相应的分布函数为{Fn(x)}，二阶矩随机变量X对应的分布函数为F(x).若对F(x)的每一个连续点处，有)()(limxFxFnn记作XXdn称二阶矩随机序列{Xn}依分布收敛于二阶矩随机变量X，(Distribution收敛)依分布收敛收敛性概念（1）以概率1收敛（2）依概率收敛（3）均方收敛（4）依分布收敛a.em.sPd不收敛XXsmn.XXdn.aenXXPnXX(1)若,则.msnXXPnXX证：举例:(2)若,则.aenXXPnXX证：举例:均方连续定义6.6设有二阶矩过程{X(t),t∈T}，若对每一个t∈T，有0]|)()([|lim20tXhtXEh则称X(t)在t点均方连续，记作若T中一切点都均方连续，则称X{t}在T上均方连续。)()(..0tXhtXmilh均方导数定义6.7设{X(t),t∈T}为二阶矩过程，若存在另一个随机过程X’(t)，满足0|)()()(|lim20tXhtXhtXEh则称X(t)在t点均方可微，记作htXhtXmildttdXtXh)()(..)()(0并称X’(t)为X(t)在t点的均方导数。均方积分定义6.8设{X(t),t∈T}为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中T=[a,b]，如果当Δn→0时，Sn均方收敛于S，即20''11lim||0()()()nnnniiiiiESSSftXttt则称f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，记作badttXtfS)()(定理6.8设f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，则有1.2.2.babadttXEtfdttXtfE)]([)(])()([babadttXEdttXE)]([])([babaXbabadtdtttRtftfdttXtfdttXtfE212121222111),()()(])()()()([babaXbadtdtttRdttXE21212),(|)(|结论：数学期望和积分可以交换秩序。定理6.9设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程{Y(t),t∈T}在区间[a,b]上均方可微，且有Y’(t)=X(t)。badXtY)()(时间平均和集合平均概念)]([tXEmXTTTdttXTtX)(21lim)(集合平均mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。时间平均X(t)是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。时间平均集合平均大数定理设独立同分布的随机变量序列{Xn,n=1,2,…}，具有E[Xn]=m,D[Xn]=σ2,(n=1,2,…)，则1}|1{|lim1NkkNmXNP随时间n的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于该过程的统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能的状态。例题：随机过程X(t)=acos(wt+θ),a,w为常数，θ为(0,2π)上均匀分布的随机变量，试分析X(t)集合平均和时间平均值、相关函数和时间相关函数。定义6.10设{X(t),-∞t∞}是均方连续的平稳过程，若以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。XTTTmdttXTmil)(21..)()()(21..XTTTRdttXtXTmil定义6.11如果均方连续的平稳过程{X(t),t∈T}的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。定理6.10设{X(t),-∞t∞}是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为0]||)()[2||1(21..222TTXXTdmRTTmil证明见课本定理6.11设{X(t),-∞t∞}是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为0]|)(|)()[2||1(21lim22121TTXiTdRBTT其中])()()()([)(111tXtXtXtXEB证明见课本001()..()1()()..()()TTTTXtlimXtdtTXtXtlimXtXtdtT要严格验证平稳过程是否满足各态历经性是比较困难的,但是各态历经性定理的条件较宽,工程中所遇到的平稳过程大多数都能满足.在实际应用中,只考虑上的均方连续的平稳过程,此时:0t各态历经定理的意义：一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替过程的集合平均，即若样本函数X(t)只在有限区间[0,T]上给出，则对于实平稳过程有下列估计式TTXTTXdttxtxTmiltRdttxTmilm00)()(1..)(,)(1..TXXdttxTmm0)(1TXXdttxtxTRR0)()(1)()(举例:测量具有各态历经性随机过程的均值时钟比较器()t()t输入信号参考电压输出信号()kZt时钟比较器()t()t输入信号参考电压输出信号()kZt举例:利用相关法进行弱信号检测雷达接收机的输出既存在着周期性的回波信号s(t)，又存在着随机噪声n(t)，如何在噪声背景下识别是否有周期信号的存在?(假设s(t),n(t)都是均值为零的各态历经的平稳过程)作业:6.16.26.12