污水处理问题

兰州交通大学2008年大学生数学建摸竞赛论文题目：污水处理问题参赛人1：参赛人2：参赛人3：论文编号：姓名袁恺瞳学院数理学院班级信计06姓名郝文晶学院经管学院班级国贸06姓名刘薇学院经管学院班级国贸06学校统一编号，个人不得填写污水处理问题摘要：污水处理问题属于优化类模型，本文先建立了一般情况下的使江面上所有地段的水污染达到国家标准和使江旁边居民点上游的水污染达到国家标准的污水处理的PL模型，然后通过具体问题对模型求解。求解模型采用了求解PL模型的经典求解算法—单纯形法，通过专业求解PL模型得Lingo软件使计算实现此算法。使江面上所有地段的水污染达到国家标准的PL模型求解结果为：污水处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的浓度依次为41.01mg/l、21.06mg/l和50.00mg/l时，江面上所有地段的水污染达到国家标准，且最小处理费用为489.67万元；使江旁边居民点上游的水污染达到国家标准的污水处理的PL模型求解结果为：在处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的浓度依次为63.33mg/l、60mg/l和50mg/l时，为三个居民点上游的水污染达到国家标准，且最小处理费用为183.36万元。在对模型结果进行分析中，得知污水处理厂2在使江旁边居民点上游的水污染达到国家标准的污水处理的PL模型中可不工作；污水处理厂3在两种模型中均不工作。最后本文结合求解结果，对模型结果和模型建立过程中提到的：由于江水的自净能力，第n（11nm）个污水处理厂对面江水的污水浓度总是大于第n+1居民点上游的污水浓度，即江面污水的浓度总是在污水处理厂对面时达到一个较大值，进行了检验。本模型是针对一般问题建立的，因此模型自壮性好，应用广泛。但是，模型表达式复杂，若为工厂较多情况下，求解需对模型进行标准化，使得模型效益降低。关键词：优化LP模型单纯形法Lingo一．问题提出如下图,有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口有污水处理站,处理站对面是居民点。工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度,以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量成正比,使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用(称处理系数)为已知.处理后的污水与江水混合,流到下一个排污口之前,自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数(称自净系数),该系数可以估计.试确定各污水处理站出口的污水浓度,使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小.先建立一般情况下的数学模型,再求解以下的具体问题:设上游江水流量为12100010lmin,污水浓度为0.8mg/l,3个工厂的污水流量均为55010lmin,污水浓度(从上游到下游排列)分别为100,60,50(mg/l),处理系数均为1万元(12(10lmin)(mg/l)),3个工厂之间的两段江面的自净系数(从上游到下游)分别为0.9和0.6.国家标准规定水的污染浓度不能超过1mg/l.(1)为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用?(2)如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费多少费用?二．符号说型和模型分析1.符号说明i—某江上有到下游的工厂、处理厂和居民点的序号；F—总污水处理费用；iF—第i个处理厂的污水处理费用；sL—某江上游江水流量；iL—第i个工厂排放的污水流量；s—某江上游污水浓度；b—国家标准规定的水的污染浓度；pi—第i个工厂排放的污水浓度；ci—第i个污水处理厂出口的污水浓度；si—第i个居民点上游的污水浓度；ri—第i个污水处理厂对面江水的污水浓度；iC—第i个处理厂的处理系数；iK—第i—1到i工厂之间的江面自净系数（此时2i）。2.模型分析此问题属于优化类模型，目标为使污水总的处理费用最小，约束条件为江面的污水浓度。（1）：各居民点上游的江水污水浓度居民点上游的江水污水浓度为江的上游污水和上游污水处理厂排出的污水浓度流到居民点时的污水浓度。因此，要求某一居民点上游的江水污水浓度，可先求江的上游污水流到居民点时的浓度，和上游每个污水处理厂排出的污水到居民点时的浓度，最后将其相加即可得次居民点上游的江水污水浓度。（2）：各污水处理厂对面江水的污水浓度各污水处理厂对面江水的污水浓度为此污水处理站对面居民点上游污水和此污水处理站排出的污水混合之后的污水浓度。因此，当已求出各居民点上游的污水浓度时，某污水处理厂对面江水的污水浓度，可将其对面居民上游污水和其污水处理厂排出的污水混合，其浓度即为此污水处理厂对面江水的污水浓度。（3）：各污水处理站出口的污水浓度各无数处理站出口的污水浓度受污水处理费用和国家规定的水的污染浓度，它直接影响江面的污水浓度。根据问题各污水处理站出口的污水浓度为在上游污水第1个污水处理厂排放的污水第i个污水处理厂排放的污水（1in-1）第n-1个污水处理厂排放的污水第n个居民点上游的污水的浓度第n个污水处理厂排出的污水第n个居民点上游的污水的浓度第n个污水处理厂对面江水的污水浓度江面的污水浓度达到国家规定的水的污染浓度情况下，使处理费用最小情况下的污水处理口的污水浓度。（4）：污水处理费用在江面污水浓度达到国家标准时，可知其对应的污水处理站口的污水浓度，其对应工厂的污水排放的流量和浓度已知，根据污水处理费用为处理系数、处理前后的浓度差和污水流量三个之积，即可求出污水处理费用。三．模型假设（1）：江水的流量稳定，即江水和某一污水处理厂排放的污水混合后，其流量在到下一个污水处理厂之前保持不变。（2）：江水的污染品质是稳定的，即江水的污水浓度只受上游污水、处理厂污水和自净系数的影响。（3）：江的上游水的污染浓度是达到国家标准的。四．模型建立若江旁共有m个工厂、污水处理厂及居民点，且m个工厂的污水皆排入此江。（1）：居民点上游的污水浓度：江的上游污水流到第n居民点时的污水浓度为：11111nLKssiinLLsii第i（11in）个污水处理厂的污水流到第n个居民点时的污水浓度为：1111nLKiciijinLLsii则第n（1nm）个居民点上游的污水浓度为：111()111111nnnLKLKssiicijiijisnnLLsii（2）：污水处理厂对面江水的污水浓度：则第n（1nm）个污水处理厂对面江水的污水浓度为：111()11111nnnLKLKLssiicijncniijirnnLLsii（3）：污水处理厂的污水处理费用：根据污水处理费用为处理系数、处理前后的浓度差和污水流量三个之积，可得第i个污水处理厂的污水处理费用：()FCLiipicii，则总污水处理费用：()1mFCLipiciii模型一：为使江面所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费费用：由于江水的自净能力，可以知道在第n（11nm）个污水处理厂对面江水的污水浓度总是大于第n+1居民点上游的污水浓度，即江面污水的浓度总是在污水处理厂对面时达到一个较大值。因此，要使江面所有地段的水污染达到国家标准，只需让各个污水处理厂对面江水的污水浓度达到国家标准即可。由（2）已知污水处理厂对面江水的污水浓度，则数学模型为：min()1111()1111(2)1..rnmFCLipiciiinnnLKLKLssiicijncniijinmnLLsiist1111(1)0LLssrLLsnmrnbcipi模型二：为使居民点上游水污染达到国家标准，最少需要花费费用是达到国家标准的，可在模型中不考虑。由(1)已知居民点上游的污水浓度，则数学模型为：min()1mFCLipiciii..st111()1111(2)11snnnnLKLKssiicijiijinmnLLsii(2)0snbcipinm五．模型求解可知模型一和模型二皆属于线性规划模型，线性规划模型用单纯形法。（一）、带入具体数据，得具体问题的数学模型为：模型一：1min1(100)(60)(50)5123510000.81..10005rFccccst23123123(510000.8)0.9512100055(510000.8)0.90.650.6512310005551110100060050rrrrrcccccccc将上面模型化为标准形式：123min5551050cccF..st10.0049750.7961c121231230.004460.004950.7128710.002660.002960.004930.4256210100060050cccccccc模型二：min1(100)(60)(50)5123Fccc..st2(510000.8)0.9110005sc323123(510000.8)0.90.650.612100055110100060050sssccccc将上面模型化简为标准形式：123min5551050cccF..st10.0044780.716421c120.002670.002970.427721cc1230100060050ccc（二）、应用单纯形法求解的计算步骤：1、把一般得LP问题化为标准形式；2、建立初始单纯形法表,求出初始得基本可行解(0)x及对应的目标函数值0z；3、判别现行解是否是最优解。若是，计算结束；否则转到第4步。判别得方法：（1）计算检验数jjjrcz，其中,1,2,...,TjBjzcYjn；（2）若所有的0,1,2,...,jrjn，则现行解为最优解。4、确定进基向量。方法是：计算min0jjkrrr，则ka进基。5、确定主元素和离基向量。若0,1,2,...,ikyim，则LP问题得可行域R无界，LP问题没有有限得最优值，计算结束；否则计算00min0iijkikrkyyyyy这时，主元素为rky，ra应为离基。6、以rky为主元素，进行换基计算，求得一个新得基本可行解，然后返回第3步。具体做法：（1）用rky除以第r行，使kx得系数变为1；（2）将r行乘以适当倍数加到其他行，使其他行中的kx得系数都变为0。简言之，即将ka化为单位向量。使主元素处为1，其余元素均为0。（三）计算机算法的实现，这里应用专业PL软件Lingo，通过编程求解模型。模型一（程序见附录及完整结果1），主要结果：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:3Objectivevalue:489.6743VariableValueReducedCostPC141.005030.000000PC221.060120.000000PC350.000000.000000由此可知：在污水处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的浓度依次为41.01mg/l、21.06mg/l和50.00mg/l时，江面上所有地段的水污染达到国家标准，且最小处理费用为489.67万元；由以上求解结果，根据模型，可以求出江水面上所有地段的水污染浓度，具体图为：由此图可直观看到，见面的水污染浓度均达到国家标准。模型一（程序见附录及完整结果2），主要结果：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:3Objectivevalue:183.3631Variable