对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解

§2.2对数函数2．2.1对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N⇔x＝logaN，从而得对数恒等式：alogaN＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数logaN(a0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N0；②1的对数为零，即loga1＝0；③底的对数等于1，即logaa＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①loga(MN)＝logaM＋logaN(a0，a≠1，M0，N0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②logaMN＝logaM－logaN(a0，a≠1，M0，N0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③logaMn＝n·logaM(a0，a≠1，M0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M0，N0，例如loga[(－3)×(－4)]是存在的，但是loga(－3)与loga(－4)均不存在，故不能写成loga[(－3)×(－4)]＝loga(－3)＋loga(－4)．②防止出现以下错误：loga(M±N)＝logaM±logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN，logaMN＝logaMlogaN，logaMn＝(logaM)n.3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN＝logcNlogcb(b0，且b≠1；c0，且c≠1；N0)．证明设logbN＝x，则bx＝N.两边取以c为底的对数，得xlogcb＝logcN.所以x＝logcNlogcb，即logbN＝logcNlogcb.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)logbN＝1logNb或logbN·logNb＝1(N0，且N≠1；b0，且b≠1)；(2)logbnNm＝mnlogbN(N0；b0，且b≠1；n≠0，m∈R).题型一正确理解对数运算性质对于a0且a≠1，下列说法中，正确的是()①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.A．①与③B．②与④C．②D．①、②、③、④解析在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立．在②中，当logaM＝logaN时，必有M0，N0，且M＝N，因此M＝N成立．在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.例如，M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N.在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．所以，只有②成立．答案C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log32－log3329＋log38－5log53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log52·log79log513·log734.分析利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg102·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)∵log52·log79log513·log734＝12log52·2log73－log53·13log74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32.点评对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三对数换底公式的应用计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．分析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．解方法一原式＝log253＋log225log24＋log25log28log52＋log54log525＋log58log5125＝3log25＋2log252log22＋log253log22log52＋2log522log55＋3log523log55＝3＋1＋13log25·(3log52)＝13log25·log22log25＝13.方法二原式＝lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝13lg53lg23lg2lg5＝13.点评方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．错解由对数的性质可得x2＋3x＝x＋3.解得x＝1或x＝－3.错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解由对数的性质知x2＋3x＝x＋3，x2＋3x0，x＋30且x＋3≠1.解得x＝1，故实数x的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a0，且a≠1，N0)．1．(上海高考)方程9x－6·3x－7＝0的解是________．解析∵9x－6·3x－7＝0，即32x－6·3x－7＝0∴(3x－7)(3x＋1)＝0∴3x＝7或3x＝－1(舍去)∴x＝log37.答案log372．(辽宁高考)设g(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，则gg12＝____.解析g12＝ln120，gln12＝eln12＝12，∴gg12＝12.答案121．对数式log(a－3)(7－a)＝b，实数a的取值范围是()A．(－∞，7)B．(3,7)C．(3,4)∪(4,7)D．(3，＋∞)答案C解析由题意得a－30，a－3≠1，7－a0，解得3a7且a≠4.2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是()A．a－2B．3a－(1＋a)2C．5a－2D．－a2＋3a－1答案A解析∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.3．log56·log67·log78·log89·log910的值为()A．1B．lg5C.1lg5D．1＋lg2答案C解析原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5.4．已知loga(a2＋1)loga2a0，则a的取值范围是()A．(0,1)B.0，12C.12，1D．(1，＋∞)答案C解析由题意，得0a1，2a1，∵a0，a≠1，loga(a2＋1)loga2a，∴0a1.∴12a1.5．已知函数f(x)＝ax－1＋logax(a0，a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2，则a的值为()A．4B.14C．3D.13答案D6．若方程(lgx)2＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于()A．lg7·lg5B．lg35C．35D.135答案D解析∵lgα＋lgβ＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg135∴α·β＝135.7．已知f(log2x)＝x，则f12＝________.答案2解析令log2x＝12，则212＝x，∴f12＝212＝2.8．log(2－1)(2＋1)＝________.答案－1解析log2－1(2＋1)＝log2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log(2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lgx＝－2＋0.7781，则x＝________.答案0.06解析∵lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，而0.3010＋0.4771＝0.7781，∴lgx＝－2＋lg2＋lg3，即lgx＝lg10－2＋lg6.∴lgx＝lg(6×10－2)，即x＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求log2xy的值；(2)已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log365.解(1)lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，又∵x0，y0，x－2y0，∴x2y0，∴x＝y，应舍去，取x＝4y.则log2xy＝log24yy＝log24＝lg4lg2＝4.(2)∵18b＝5，∴log185＝b,又∵log189＝a，∴log365＝log185lg1836＝blog18(18×2)＝b1＋log182＝b1＋log18189＝b1＋(1－log189)＝b2－a.11．设a，b，c均为不等于1的正数，且ax＝by＝cz，1x＋1y＋1z＝0，求abc的值．解令ax＝by＝cz＝t(t0且t≠1)，则有1x＝logta，1y＝logtb，1z＝logtc，又1x＋1y＋1z＝0，∴logtabc＝0，∴abc＝1.12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状．解∵关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0有等根，∴Δ＝0，即4－4[lg(c2－b2)－2lga＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lga＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a(a0且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，lo