二次函数的值域

二次函数在R上的值域和图像求下列函数的值域、最值.34)(2xxxf3431)(2xxxf①②画板画板演示画板㈠求函数f(x)=x2+2x-4在下列条件下的值域⑴x∈[-4,-2],⑵x∈[-3,2]⑶x∈[0,3]定轴定区间上的值域画板演示动轴定区间上的值域画板已知函数当时，求函数的最大值.22)(22aaxxxf3,1x.2)(22)(222axaxaaxxxf对称轴为解：（画板演示）116)3()(.112maxaafxfa时、当116)3()(.2122maxaafxfa时、当32)1()(3232maxaafxfa时，、当32)1()(342maxaafxfa时，、当31xy20X=aX=a31xy2031xy2X=a0031xy2X=a综上可知：32116)(22maxaaaaxf)2(a)2(a已知函数当时，求函数的最小值.22)(22aaxxxf3,1x会吗？画板（画板演示）X=a31xy2031xy2X=a0定轴动区间上的值域画板已知函数当时，求函数的最大值与最小值？2()23.3fxxx1,ttx)(xf（画板演示）例题讲解：例1设函数f(x)=x2-2x-3.3在区间[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式。分析解：f(x)=(x-1)2-4.3，对称轴为x=1(2)当0≤t≤1时，则g(t)=f(1)=-4.3;(1)当t1时，则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;(3)当t+11，即t0时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;t2-2t-3.3;(0≤t≤1)g(t)=(t0)t2-4.3;-4.3;(t1)返回下页上页22.若1x3,a为何值时,x2-5x+3+a=0有两解,一解,无解?解:原方程即为a=-x2+5x-3(1)作出函数y=-x2+5x-3(1x3)的图象,显然该图象与直线x=a的交点的横坐标是方程(1)的解.由图象知:当3a时,原方程有两解;413当1a≤3或a=时,原方程有一解;413当a≤1或a时,原方程无解.413123xy13o413y=a探索与反思探索解法考察对称轴x=？与区间相对位置关系⑴左⑵中⑶右，画图解之反思数学思想的应用解此类题用了哪些数学思想1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);一、二次函数的解析式2.顶点式:y=a(x-m)2+n(其中(m,n)为抛物线的顶点坐标);3.两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1,x2为抛物线与x轴两交点的横坐标);注:求二次函数的解析式,一般都采用待定系数法.做题时,要根据题设条件,合理地设出解析式.二、二次函数的图象有关知识:图象形状;对称轴;顶点坐标;与x轴交点坐标;截x轴线段长.三、二次函数的性质1.当a0时,抛物线开口向上,函数在(-∞,-]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增,当x=-时,f(x)取得最小值,为.2ab2ab2ab4a4ac-b22.当a0时,抛物线开口向下,函数在(-∞,-]上单调递增,在[-,+∞)上单调递减,当x=-时,f(x)取得最大值,为.2ab2ab2ab4a4ac-b2四、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在[m,n]上的最值2.若x0[m,n],则(1)当x0m时,f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);(2)当x0n时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).五、不等式ax2+bx+c0恒成立问题1.若x0=-∈[m,n],则f(x)min=f(x0)=,f(m),f(n)中的较大者即为f(x)在[m,n]上的最大值.2ab4a4ac-b21.ax2+bx+c0在R上恒成立.a0△=b2-4ac0,a=b=0c0.或ax2+bx+c0在R上恒成立.a0△=b2-4ac0,a=b=0c0.或2.f(x)=ax2+bx+c0(a0)在[m,n]上恒成立.f(m)0,-m2ab△=b2-4ac0,m≤-≤n2ab或f(n)0.-n2ab或f(x)min0(x∈[m,n])3．一元二次方程实根的分布一般地，方程f(x)=ax2+bx+c(a＞0)的根x1，x2的分布所满足的充要条件如下表：根的分布图像充要条件x1x2kKx1x2()020fkbka()020fkbka根的分布图像充要条件x1kx2f(k)0K1x1x2K2K1x1x2K2K31212()0()020fkfkbkka123()0()0()0fkfkfkf(x)=ax2+bx+c0(a0)在[m,n]上恒成立.f(n)0.f(m)01.方程f(x)=0有两正根六、二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实根分布问题记f(x)=ax2+bx+c(a0),△=b2-4ac≥0.x1+x2=-0abacx1x2=0△=b2-4ac≥0f(0)0.-02ab2.方程f(x)=0有两负根△=b2-4ac≥0.x1+x2=-0abacx1x2=0△=b2-4ac≥0f(0)0.-02ab4.方程f(x)=0的两实根都小于k△=b2-4ac≥0f(k)0.-k2ab3.方程f(x)=0有一正根一负根c0.5.方程f(x)=0的两实根一个大于k,另一个小于kf(k)0.6.方程f(x)=0的两实根都大于k△=b2-4ac≥0f(k)0.-k2ab7.方程f(x)=0的两实根都在区间(m,n)内f(m)0△=b2-4ac≥0m-n2abf(n)0.8.方程f(x)=0的两实根中,有且只有一个在区间(m,n)内.f(m)f(n)0,或f(m)=0m-,2abm+n2-n.2abm+n2f(n)=0或思考方程的两根有且只有一个在区间[m,n]上时等价于?9.方程f(x)=0的两根分别在区间(m,n)和(p,q)(np)内.f(m)0f(n)0f(p)0f(q)0.注涉及方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①f(x)图象的开口方向;②方程f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.③f(x)图象的对称轴与区间的关系;△0△=0△0判别式△=b2-4ac七、二次函数与方程、不等式的关系o(a0)的图象二次函数y=ax2+bx+cxyx1x2x1=x2xyooxy(a0)的解集ax2+bx+c0{x|x1xx2}一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)没有实根有两相等实根x1=x2=-2ab(a0)的解集Rax2+bx+c0{x|xx1或xx2}{x|x≠-}2ab八、典型例题1.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解法一:利用二次函数的一般式.故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,=8.4a4ac-b2a=-4,b=4,c=7.解得解法二:利用二次函数的顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(-1)=-1,∴抛物线的对称轴为直线x=,12∴m=.12又f(x)的最大值是8,∴n=8.∴f(x)=a(x-)2+8,12∵f(2)=-1,∴a(2-)2+8=-1,12∴a=-4.故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.12解法三:利用二次函数的两根式.由已知f(x)+1=0的两根为2和-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),从而f(x)=a(x-2)(x+1)-1.即f(x)=ax2-ax-2a-1.又f(x)的最大值是8,4a4a(-2a-1)-a2∴=8,解得a=-4或a=0(舍去).故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.∵f(x)在区间[0,2]上的最小值为3,∴可分情况讨论如下:2.已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值.解:由已知f(x)=4(x-)2-2a+2.a2a2(1)当≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上是增函数.∴f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)当02,即0a4时,a2f(x)min=f()=-2a+2.由-2a+2=3得:a=-12(0,4),舍去.a2(3)当≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上是减函数.∴f(x)min=f(2)=a2-10a+18.由a2-2a+2=3得:a=12.∵a≤0,∴a=1-2.由a2-10a+18=3得:a=510.∵a≥4,∴a=5+10.综上所述,a=1-2或a=5+10.3.已知y2=4a(x-a)中a0,且当x≥a时,S=(x-3)2+y2的最小值为4,求参数a的值.解:由已知S=(x-3)2+y2=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.∵当x≥a时,S(x)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2的最小值为4,∴对正数a,可分情况讨论如下:(1)当3-2aa,即a1时,函数S(x)在[a,+∞]上是增函数.∴S(x)min=S(a)=(a-3)2.由(a-3)2=4得:a=1或5.∵a1,∴a=5.(2)当3-2a≥a,即0a≤1时,S(x)min=S(3-2a)=12a-8a2.由12a-8a2=4得:a=1或,12均满足0a≤1.12综上所述,参数a的值为或1或5.4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点,且不等式ax2+bx+c0的解集是(-,),求a,b,c的取值范围.1213解:由已知,二次方程ax2+bx+c-25＝0有实根.∴△=b2-4a(c-25)≥0.又不等式ax2+bx+c0的解集是(-,),1213∴a0,且有-=-,=-.1616abac∴b=a,c=-a0.1616∴b=-c,c2+24c(c-25)≥0.解得:c≥24.∴b≤-24,a≤-144.故a,b,c的取值范围分别是a≤-144,b≤-24,c≥24.代入b2-4a(c-25)≥0得:5.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a,b,c,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x都成立?x2+12则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),得a-b+c=0.①∵x≤f(x)≤对一切实数x都成立,当x=1时也成立,x2+12∴1≤f(1)≤1,即f(1)=1,得a+b+c=1.②∴由①,②得:a+c=b=.121212∴f(x)=ax2+x+-a.解:假设存在常数a,b,c,使题中不等式对一切实数x都成立.1212故应x≤ax2+x+-a≤对一切实数x都成立.x2+12即2ax2-x+1-2a≥0与(1-2a)x2-x+2a≥0对一切实数x都成立.则必有:1-8a(1-2a)≤0,即(4a-1)2≤0.14∴a=.1214∴c=-a=.x2+1214故存在一组常数:a=,b=,c=,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x都成立.1412其中,0a.12解法二:可得ac≥且ac≤,161161∴ac=且a=c,161从而得解.6.已知二次函数f(x)=2x2-4(a-1)x-a2+2a+9.(1)若在[-1,1]上至少存在一个实数m,使得f(m)0,求实数a的取值范围;(2)若对[-1,1]上的一切实数m,都有f(m)0,求实数a的取值范围.解:f(x)的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为直线x=a-1.(1)问题等价于“对