第6章-模拟精度改进技术(二)

第六章模拟精度改进技术随机模拟---基本思想基本思想：针对待求问题，根据现象本身的统计规律，或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大量模拟（N→∞）的统计实验方法或计算机随机模拟方法。理论依据：大数定理中心极限定理例子：估计圆周率求圆周率的数学模型y2rr2rOrx在正方形区域内产生N个随机点{(x1,y1),(x2,y2),…,(xN,yN)}记录落在圆内的点数为M，如果取半径r=1，那么圆周率为：4MN收敛性:大数定理niinXnX11作为所求解的近似值。由大数定律可知，如果X1，X2，…，Xn独立同分布，且具有有限期望值（E(X)∞），则对任意的1|)(|limXEXPnn即随机变量X的简单随机样本的算术平均值，当样本数n充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。nX由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样X1，X2，…，Xn的算术平均值：理论依据---大数定理0dxxfXEx)())((022f(x)是X的分布密度函数。则当N充分大时，有如下的近似式蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机变量序列X1，X2，…，Xn独立同分布，且具有有限非零的方差σ2，即理论依据------中心极限定理122)(2/202/2/dtenzXEXPztn其中α称为置信度，1－α称为置信水平。这表明，不等式nzXEXn2/)(近似地以概率1－α成立，且误差收敛速度的阶为：O(n-1/2)nz2/上式中是标准正态分布的分位点据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出。通常，简单随机抽样的误差ε定义为两点说明：(1)MC方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。(2)误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值S212/z2/z1–/2/22/z理论依据------中心极限定理（2）减小估计的均方差σ，比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于n增大四倍的效果。（1）增大试验次数n。在σ固定的情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数n需增加两个数量级。因此，单纯增大n不是一个有效的办法。比如：误差要从0.1减小到0.01，则样本量需要增大100倍。当给定置信水平1-α后，就确定了。因此误差由σ和n决定。要减小ε：模拟精度改进技术2/znz2/2.模拟精度改进技术•对偶变量法•条件期望法6.1对偶变量法首先考虑下列问题：•随机变量是[0,1]上的均匀分布，求其方差•随机变量与是[0,1]上的均匀分布，求方差•求随机变量与的协方差UUU1)1,(UUCov1U2U221UUVar而且有下列关系式成立221XXE6.1对偶变量法特例：取函数，则上式简化为6.1对偶变量法xxgxf)()(022XVarEXEX6.1对偶变量法6.1对偶变量法6.1对偶变量法•至此，定理得证。)]([)]([)]()([XgEXfEXgXfE6.1对偶变量法一个例子：121)1,(UUCov6.1对偶变量法6.1对偶变量法•例6.1估计110edxex6.1对偶变量法方法一、直接抽样方法•第一步：产生样本•第二步：令•第三步：参数的估计，方差为其中的均值与方差iIn2)1(•程序6.1对偶变量法6.1对偶变量法方法二：对偶变量法第一步：产生样本•第二步：令•第三步：参数的估计注意：此时参数估计的方差减小了6.1对偶变量法附积分计算中的应用•一维积分平均值法：作变换：得标准积分：积分计算中的应用直接抽样法：在x的定义域[0,1]上均匀随机取点，该均匀分布的随机变量记为ξ，定义随机变量η为：则有因此，只要抽取足够多的随机点，即当n足够大时，In就是积分I的一个无偏估计值。相应的方差为：可见，当f(x)在其定义域内变化较大时，方差较大。在积分计算中的应用•一维积分的掷点法一维标准积分：定义：则有：在单位正方形内投N个点，落在曲线f(x)下的有M个，则由于对y的积分可以解析计算，故此法的误差较平均值法大。在积分计算中的应用•高维积分平均值法标准形式：在实际问题中，被积函数在超立方体区域内可能强烈变化。若在积分区域内均匀抽样，积分贡献可能主要来自少数仅仅只有几个蒙特卡洛投点的小区域，从而导致很大的统计误差。所以采用重要抽样法，使得随机点更多地投在取值大的区间