电动力学-电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量

电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量1，电磁场中带电粒子的运动方程2，拉格朗日形式3，哈密顿形式4，非相对论情形1，电磁场中带电粒子的运动方程在相对论力学中，力学基本方程可写为协变式：其中，Ku为四维力矢量，Pu为动量和能量构成的四维矢量。在低速运动的情形下，作用于速度为v的物体上的四维力矢量所以，在相对论协变的力学方程包括：上式可改写为：dpKdt,iKKKccdwdpkkvdtdt，22221,1vdpvdwkkvcdtcdt221dpFvdtFKdWcFvdt定义：相对论力学方程为在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为：FqEvB221vKqEvBc因为所以，洛伦磁力也满足相对论协变要求。综上得，带电粒子在电磁场中的运动方程为：dpqEvBdt2，拉格朗日形式在理论力学中，拉格朗日的基本形式为：其中为广义动量，为广义速度，Qa为广义力。1,2,...,dTTQsdtqqTqq对保守力系来讲：V1,2,...,dTTsdtqqq因为势能V中一般并不包含广义速度，所以令L=T-V来代表体系的动能与势能之差。q所以得到保守力系下的拉格朗日方程为：LL01,2,...,dsdtqq在电动力学中，电磁场也是一个保守力场，所以也满足上面的保守力系下的拉格朗日方程。电磁场中的带电粒子的运动方程为：dpqEvBdt（1）其中粒子的机械动量p是：0221mvpvc（2）现在我们试探能否找到一个拉格朗日量L使运动方程（2）化为拉格朗日形式。1E+vvBvtvvv由得：因为算符不作用的函数上，则：（3）（4）把（3）和（4）代入（1）式中，得dpqvvdtt（5）由于电子运动，在时间dt里有位移dx，所以矢势A有增量dx因此，作用于粒子上的矢势总变化率为：dvdtt（6）所以（5）可写为：dpqqvdt（7）动量p和矢势A可以写为所以拉格朗日量L为：22021iiiivpmcvcvv22021vLmcqvc（8）则运动方程（7）可以写为拉格朗日形式：LL0iiddtvx（9）对L的几点说明：①把（8）式乘以②自由粒子的状态由速度确定，所以只能由协变量四维速度决定。③当粒子在电磁场中运动时，除了之外，还依赖于四维势，则它们可以构成一个不变量，因此，当vc时，带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗量L为（8）221vc得：30ULmcq上式右边是洛伦兹不变量，因此上式左边也是洛伦兹不变量。U因此只能是一个洛伦兹不变量，当时，则自有粒子的拉格朗日函数为：Lvc22021vLmccUU3，哈密顿形式对于用拉格朗日量L描述的动力学系统，广义动量定义为ipPiiLq（10）则系统的哈密顿量为：iiipqL（11）用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式：iiHqp（12）iiPq和（13）对于电磁场中的带电粒子运动情形，由（8）式，正则动量P是：0221iiiimvLPqvvc即Ppq（14）由（11）式，带电粒子的哈密顿量为:20221mcPvLqvc但是H应该用正则动量P而不是用速度v表出。所以哈密顿量表示为：22240Pqcmcq（15）（16）引入四维正则动量：Ppq则哈密顿量H与Pu的第四分量联系：PPic，（17）（18）不难验证哈密顿方程（12）和（13）相当于原运动方程（1）4，非相对论情形当vc时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形下相应的量。拉格朗日量（8）式当vc时变为：2012Lmvqv（19）哈密顿量（16）式变为：2012Pqqm（20）可以看出H和L仍然满足关系式（11），PvL所以非相对论的情形下，拉格朗日量和哈密顿量即为分析力学中的情形。