小学四年级奥数教程

小学四年级奥数教程第九讲和倍问题生活中常常有这样的事情：四⑴班同学到果园里去植树，栽苹果树和梨树共150棵，其中苹果树是梨树的2倍，问植苹果树和梨树各多少棵？这是一道已知两个数（或几个数）的和以及它们之间的倍数关系，求两个数（或几个数）的问题，在数学上称之为和倍问题。解答这类题的关键是在已知条件中确定一个数为标准（一般以小数为标准），也就是把它看作1倍数（或1份数），再根据另一个数与这个数的倍数关系，确定总和相当于1倍数的多少倍，然后用除法求出1倍的数，再算出另一个数。和倍问题的数量关系是：①和÷（倍数+1）=小数②小数×倍数=大数③和-小数=大数例1：庆“六一”四二班剪红花和黄花共630朵，已知要剪的红花是黄花的2倍，求剪红花和黄花各多少朵？分析：我们可以用画线段图的方法来帮助理解：黄花：1倍？朵630朵红花：1倍1倍？朵先把黄花（小数）看成是1倍数，红花就是2倍数，红花和黄花总共是3倍，正好是630朵。把630朵平均分成3份，每份就是1倍数，也就是黄花的朵数。例1：庆“六一”四二班剪红花和黄花共630朵，已知要剪的红花是黄花的2倍，求剪红花和黄花各多少朵？例2：学校食堂里运来大米和面粉共1450千克，其中大米比面粉重量的3倍少150千克，求运来大米和面粉各多少千克？例2：学校食堂里运来大米和面粉共1450千克，其中大米比面粉重量的3倍少150千克，求运来大米和面粉各多少千克？分析：可以用画线段图如下：面粉：1倍？千克3倍共1450千克大米：？千克少150千克由图可以看出：已知大米和面粉共1450千克，大米比面粉重量的3倍少150千克，假如大米增加150千克，就恰好是面粉的3倍了。但大米增加150千克，那么大米和面粉的总重量也增加150千克，共是1450+150=1600千克。例3：甲、乙两箱苹果共96千克，如果从甲箱取出16千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍，两箱原有苹果各多少千克？例3：甲、乙两箱苹果共96千克，如果从甲箱取出16千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍，两箱原有苹果各多少千克？分析：两箱苹果放来放去之后，部总千克数没有改变，只是甲箱取出16千克，就是减少了16千克，放入乙箱16千克，就是乙箱增加16千克。这时乙箱的千克数就是甲箱的3倍。我们可以把移动后的甲箱千克数看成1倍数，移动后的乙箱千克数就是这样的3倍数，两箱的总重量则是这样的4倍数。总重量没变，是96千克。用除法便可求出移后结果。然后再求出原来重量。1倍移后甲箱：？千克3倍96千克移后乙箱：？千克例4：3篮橘子共有126个，第一篮橘子个数是第二篮的2倍，第三篮的橘子个数是第一篮的3倍。这3篮橘子各多少个？例4：3篮橘子共有126个，第一篮橘子个数是第二篮的2倍，第三篮的橘子个数是第一篮的3倍。这3篮橘子各多少个？分析：这道题有一个选标准的问题，是选第一篮为标准，还是选第二篮为标准。从题意上可以想到第二篮是最小的数。那就把第二篮的橘子数确定为标准，把它看作1倍数，第一篮就是2倍数，第三篮是第一篮的3倍，也就是第二篮的2×3倍，3篮一共是1+2+6=9倍，正好是126个，用和倍问题解答即可。例5：学校买来828本科技书分给4、5、6三个年级，6年级分得的是4年级的3倍多5本，5年级分得的是4年级的2倍多1本，4、5、6三个年级各分得科技书多少本？例5：学校买来828本科技书分给4、5、6三个年级，6年级分得的是4年级的3倍多5本，5年级分得的是4年级的2倍多1本，4、5、6三个年级各分得科技书多少本？分析：5年级和6年级分得的本数都是以4年级作为标准的，所以我们把4年级分得的本数看作是1倍数，6年级去掉5本就正好是4年级的3倍，5年级去掉1本也就正好是4年级的2倍数，这样总数里也就去掉了5+1=6（本），变成了828-5-1=822（本），它也就是3+2+1=6（倍数），用和倍问题可求出结果。4年级：5年级：6年级：？本1倍2倍多1本？本3倍多5本？本828本例6：小亮和小芳兄妹俩把过年的压在钱共1000元存入银行。开学初，小亮取出240元，小芳又存入80元，这时小芳的存款钱数正好是小亮的3倍。原来谁比谁存的钱多，多多少元？例6：小亮和小芳兄妹俩把过年的压在钱共1000元存入银行。开学初，小亮取出240元，小芳又存入80元，这时小芳的存款钱数正好是小亮的3倍。原来谁比谁存的钱多，多多少元？分析：要求原来谁比谁存的钱多，多多少元，首先得求出小亮和小芳原来各存款多少元。根据题意，小亮取出，小芳存入后两人的共存款数为1000240+80=840（元），已知这时小芳的存款钱数是小亮的3倍，把小亮现在存款钱数看作1倍，小芳的存款数就是3倍，现在总存款数就是1+3=4倍，也就是840元，用和倍问题便能求出小亮和小芳现在存钱数，再求原来存钱数，从而知道谁存的多，多多少元？例7：已知A、B两数之积为5000，是A、B两数之和的20倍，而A数又是B数的4倍，A、B两数各是多少？例7：已知A、B两数之积为5000，是A、B两数之和的20倍，而A数又是B数的4倍，A、B两数各是多少？分析：此题如果能求出A、B两数的和是多少，就能用和倍问题解题。已知A、B两数之积为5000，是A、B两数之和的20倍，那5000是和的20倍，可以求出A、B两数的和，然后把B数看作1倍数，A数就是4倍数，和为1+4=5倍数，这样便可以求解。例8：游泳馆里有大小两个水池，大水池里有水2800立方数，小水池里有水1000立方数，如果大水池里的水以每分钟20立方米的速度流入小水池，那么多少分钟后小水池中的水是大水池的4倍？例8：游泳馆里有大小两个水池，大水池里有水2800立方数，小水池里有水1000立方数，如果大水池里的水以每分钟20立方米的速度流入小水池，那么多少分钟后小水池中的水是大水池的4倍？分析：解答这道题时，应明确不管大水池的水往小水池里流，还是小水池的水往大水池里流，两池水的总量是不变的。两池里的水一共是2800+1000=380（m3），把大水池所剩的水看作是1倍数，那么小水池现在的水就是4倍数，两池水一共是1+4=5倍数，从而能求出大水池里所剩的水。再用2800减法剩下的水就等于流走的水，流出的水除以流速就求出流水的时间。例9：①被除数、除数、商三个数的和是215，已知商是2，被除数和除数各是多少？②两数相除的商为12，余数是26，被除数、除数、商、余数的和等于454，被除数和除数各是多少？例9：①被除数、除数、商三个数的和是215，已知商是2，被除数和除数各是多少？②两数相除的商为12，余数是26，被除数、除数、商、余数的和等于454，被除数和除数各是多少？分析：①已知商是2，说明被除数是除数的2倍。把除数看作是1倍数，被除数则是2倍数，从215里去掉2所得的结果则是3倍数，从而就可以求出1倍数——除数，然后再用“商×除数=被除数”的关系式，算出被除数。②根据题意，用4个数的和减去商12，再减去余数26就得到了被除数和除数之和，因为商是12，也就是被除数是除数的12倍，可以把除数看作是1倍数，被除数就是12倍数，它们的和是1+12=13倍数，用和倍公式即可求出除数。例10：①甲、乙两数之和为737，其中甲数的个位是0，如果把0去掉，就和乙数相同。甲、乙两数各是多少？②甲、乙、丙三数之和是2220，甲是乙的一半，乙是丙的2倍，甲、乙、丙三数各是多少？例10：①甲、乙两数之和为737，其中甲数的个位是0，如果把0去掉，就和乙数相同。甲、乙两数各是多少？②甲、乙、丙三数之和是2220，甲是乙的一半，乙是丙的2倍，甲、乙、丙三数各是多少？分析：①已知甲数的个位是0，如果把0去掉，就和乙数相同，说明甲数是乙数的10倍，把乙数看作是1倍数，甲数就是10倍数，甲、乙两数之和相当于甲数的1+10=11倍数，用737除以11就得到1倍数，即乙数。②根据甲是乙的一半，可以想到反过来就是乙是甲的2倍。又因乙是丙的2倍，可以推断出甲和丙同样多。把甲数看成1倍数，丙也就是1倍数，乙是2倍数，甲、乙、丙三数之和相当于甲数的（1+2+1）=4倍数，用2220除以4就得到1倍数，即甲、丙两数，由此再求出乙数。