高二数学不等式的证明2

1．作差比较法证不等式的步骤：作差——变形——判断差与0的大小——结论．复习变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等．作商——变形——判断商与1的大小——结论．注意：作商比较法一般用于两边式子同号的不等式的证明．2．作商比较法证不等式的步骤：复习新课1．综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．2．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法．新课3．用综合法证明不等式的逻辑关系：AB1B2…BnB．(已知)(前一不等式成立的必要条件)(结论)例1已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc．(教材P14例5)练习：教材P14练习第1、2题．即：1．已知，求证：2．已知ab0，0cd，求证：14.yxxyxyxy.abcd例2已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2+c2(ab+c)2．说明：此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点．例3对于任意实数a、b，求证：(当且仅当a=b时取“=”号)分析：本题若使用比较法来证明，将会很麻烦．因为所要证明的不等式右边展开后很复杂．若使用综合法，从重要不等式：a2+b22ab出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明．444().22abab例3对于任意实数a、b，求证：(当且仅当a=b时取“=”号)说明：此题考查用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式证明，要注意均值不等式的变形使用，一般在式子中出现平方和乘积形式后可以考虑用综合法来证明．444().22abab例4已知a、b、cR+，a+b+c=1，求证：分析：显然这个题用比较法不易证明．若把左边通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧．1119.abcbaab例4已知a、b、cR+，a+b+c=1，求证：说明：此题考查了变形用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．(本题也可用三元均值不等式很快证得)1119.abc由例4得：已知a、b、cR+，则变题：已知a、b、cR+，求证：111()()9.abcabc1119(1)()();2abcabbcca3(2).2abcbccaab分析：注意到上述不等式当==时取等号，故可由均值不等式证得．1.若a，b，cR+，求证：课堂练习2.设、、均为锐角，求证：变题：若a，b，cR+，求证：222.bcaabcabc222222.abbccaabcabc222sinsinsinsinsinsin.sinsinsin用综合法证明不等式的依据是：1．已知条件和不等式性质；2．基本不等式．小结说明：能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件．1.《数学之友》T6.7．2.思考题：某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v千米/小时的速度直达灾区．已知某市到灾区的公路线长400千米，为安全需要，两汽车间距不得小于()2千米．那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？作业20v