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(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件是随机事件的是()①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体作匀速直线运动；④函数y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数．A．①③B．①④C．②④D．③④解析：②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．答案：C2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1、P2、P3，则()A．P1＝P2＜P3B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3D．P3＝P2＜P1解析：先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1＜P2＜P3.答案：B3．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是()A．A与C互斥B．任何两个均互斥C．B与C互斥D．任何两个均不互斥解析：三件产品至少有一件次品包含三件产品全是次品，所以B、C不互斥，而A与C对立且互斥．答案：A4．下列说法正确的是()A．由生物学知道生男生女的概率均约为12，一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为15，则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大D．10张票中有1张有奖，10人去摸，无论谁先摸，摸到有奖票的概率都是110答案：D5．(2012·临沂高一检测)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是()A.12B.13C.14D.18解析：两枚硬币的情况如下：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．故出现两个正面朝上的概率P＝14.答案：C6．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是()A．0.62B．0.38C．0.70D．0.68解析：记“取到质量小于4.8g”为事件A，“取到质量不小于4.85g”为事件B，“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C为必然事件．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.32＋P(C)＝1，即P(C)＝1－0.3－0.32＝0.38.答案：B7．(2011·福建高考)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23解析：点E为边CD的中点，故所求的概率P＝△ABE的面积矩形ABCD的面积＝12.答案：C8．从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为()A.310B.112C.4564D.38解析：设3个元素分别为a、b、c.所有子集共8个，含有两个元素的子集共3个．答案：D9．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的是()A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多有一件一等品解析：从5件产品中任取2件，共有10种可能结果，2件都是二等品的可能结果只有1种，2件都是一等品的可能结果有3种，一件一等品、一件二等品的可能结果有6种．答案：D10．在区间(0,1)内任取一个数a，能使方程x？＋2ax＋12＝0有两个相异实根的概率为()A.12B.14C.22D.2－22解析：方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a)？－4×1×12＝4a？－20，解得|a|22，又a∈(0,1)，所以22a1，区间(22，1)的长度为1－22，而区间(0,1)的长度为1，所以方程有两个相异实根的概率为1－221＝2－22.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．从100件产品中抽查10件产品，记事件A为“至少有3件次品”，则A的对立事件是________．答案：至多有2件次品12．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149,172.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5cm～170.5cm之间的概率为__________．(用分数表示)解析：样本中有8人身高在155.5cm～170.5cm之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5cm～170.5cm之间的概率为820＝25.答案：2513．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为__________．解析：此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a－b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，∴P＝24＋410×10＝725.答案：72514．随机向边长为2的正方形ABCD中投一点M，则点M与A的距离不小于1且使∠CMD为锐角的概率是________．解析：如图所示，M在阴影部分内，则P＝22－14·π·12－12·π·1222＝1－3π16.答案：1－3π16三、解答题(本大题共有4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)在圆O：x2＋y2＝1的某一直径上随机地取一点Q.试求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．解：如图所示：记事件过点Q且与该直径垂直的弦的长度超过1为A.设EF＝1则在Rt△OQE中，OE2＝OQ2＋QE2，1＝OQ2＋14，∴OQ＝32.由几何概型的概率公式得P(A)＝32×22＝32.而过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率为1－32.16．(12分)A、B两个箱子分别装有标号为0、1、2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.标号张数箱012A213B212(1)从A、B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2的概率；(2)从A、B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率．解：(1)记事件A＝{从A、B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}．基本事件总个数为6×5＝30，事件A包含基本事件的个数为5.由古典概型的概率公式得P(A)＝530＝16.则x＝2的概率为16.(2)记事件B＝{从A、B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}．事件B包含基本事件的个数为10.由古典概型的概率公式得P(B)＝1030＝13.则x＝0且y＝2的概率为13.17．(12分)(2011·山东高考)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解：(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)(C，F)共9种，从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A，D)(B，D)(C，E)(C，F)共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)(C，D)(C，E)(C，F)(D，E)(D，F)(E，F)共15种，从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F)(E，F)共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.18．(14分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，∴5a2＋b2＝1，整理得：a2＋b2＝25.由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4，或a＝4，b＝3两种情况．∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是236＝118.(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件；当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件；当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件；∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．∴三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝718.