经济增长模型(数学建模,微分方程模型PPT)

引言发展经济、提高生产力主要依靠以下手段：增加投资；增加劳动力；技术革新（*）；引言（*）我们这里讨论暂不考虑技术革新的作用，因为：一定时期内，技术相对稳定；技术革新量化困难。提纲本经济增长模型，将讨论：（建立产值与资金、劳动力直接的关系）；（求解二者最佳比例）；.提纲1.生产函数（建立产值与资金、劳动力直接的关系）；2.资金与劳动力的最佳分配（求解二者最佳比例）；3.劳动生产率增长条件.1.生产函数——符号说明符号说明：——在时刻的；——在时刻的；——在时刻的；它们的关系我们记作：其中为待定函数。()Qtt()Kt()Lttt()(),()()QtFKtLtF1.生产函数——符号说明对于固定时刻，上述关系可简记作()(),()()QtFKtLtt(),QFKL1.生产函数引入记号其中，可以理解为的；可以理解为的。根据经济学常识我们假设：随着的增长而，但递减。,QKLzyLzyzy1.生产函数依据我们假设随着的增长而，但递减我们将这个假设用函数形式表示成：其中可以看做。zy,,(0,1()(),0)zcyyygcg0c1.生产函数对于这个假设易于我们的假设合理：则；,,(0,1()(),0)zcyyygcg1KyLyzcy1222()0(1),0,dzdzdcycycdydydyy1.生产函数由刚刚的记号和假设我们可以推出,QKLLzyzcy1,(0,1)(*)QcKL1.生产函数由我们易得如下性质（）：——增长率——边际增长率1(*)QcKL22220,00,0QQKLQQKL1.生产函数我们记其中，可理解为创造的；可理解为创造。,KLQQQQKLKQLQ1.生产函数由（*）式与刚刚的记号我们可得1(*),KLQcKLQQQQKL,1KLKLKQLQQQKQLQQ1.生产函数由我们可以解释的经济含义：•是在中占有；•是在中占有；的大小直接反映了对的,1KLKLKQLQQQKQLQQ11.生产函数式子即为模型中的。它被称为，经受住了资本主义社会实际数据的检验。更一般的形式为：1,(0,1)QcKL,0,1QcKL1.生产函数（建立产值与资金、劳动力直接的关系）；2.资金与劳动力的最佳分配（求解二者最佳比例）；3.劳动生产率增长条件.提纲2.资金与劳动力的最佳分配第二步，我们要根据第一步的结论讨论如何分配使得生产创造的最大。1,(0,1)QcKLKLS2.资金与劳动力的最佳分配我们假定资金来自贷款，劳动力需要支付工资，符号为：——资金——劳动力——效益则SQrKwLrwQKLS2.资金与劳动力的最佳分配由知，求解此问，即求出资金与劳动力的使得达到最大。SQrKwLKLS2.资金与劳动力的最佳分配考虑到第一步求解时，我们有我们很自然想到以下面方式求出结果：1LKQKLQ,1KLKQLQQQ2.资金与劳动力的最佳分配而求可利用解决：LKQQLQQK,(,,,)LQLKKQFQFFLFSQKLQrKwLwSQFFKFr2.资金与劳动力的最佳分配求得即为最佳资金、劳动力。我们可以如下：当资金在产值中占有份额、工资，而贷款利率，易得分配比例值。11LKQQKwLrwrKL1.生产函数（建立产值与资金、劳动力直接的关系）；2.资金与劳动力的最佳分配（求解二者最佳比例）；3.劳动生产率增长条件.提纲3.劳动生产率增长条件我们知道，常用的的指标有下面几个：我们需要讨论的是——的时候，才能使。(()))(QtzLtt()Qt(),()KtLt3.劳动生产率增长条件首先，我们需要对作：与成；为。用数学式子表示如下：(1),(0);dKQdt(2)dLLdt3.劳动生产率增长条件(1)由可以解出的解为dLLdt0()tLtLe3.劳动生产率增长条件对于式子我们联立第一步的解有,(0);dKQdt,QKLLzyzcydKcLydt3.劳动生产率增长条件而由于则LyKLyKdKdydyyLyLdtdtdLLdtdt3.劳动生产率增长条件刚刚得到的两式联立则dKcLydtdKdyyLdtdtLdydLyLcLycdtdytyy3.劳动生产率增长条件观察结果这是，由常微分方程知识有：yydtycd11(1)00()11tKcyteK3.劳动生产率增长条件我们现在要做的，就是依据上式，分析出的条件。即下两式成立条件：11(1)00()11tKcyteK(1)0,(2()()()0))(ddddtdQtLtQtzdttt3.劳动生产率增长条件由得，联立有,QKLLzyzcyQcLyyydLLdtdycdt11dQdLdycyyLcyyLdtdtdtLcyy211(1)ccLyy3.劳动生产率增长条件将结果与的结果联立，知条件成立等价于211(1)dQLyccydt11(1)00()11tKcyteK)(1)0(Qtddt(1)00111tKeK3.劳动生产率增长条件由因为不等号右边，有：•（即劳动力不减少时），上式恒成立；•解出(1)00111tKeK0,0dLLdt注：表示劳动力减少0001ln11(1)KttK3.劳动生产率增长条件•（即劳动力不减少时）恒成立；•解出即为总产值。第二种情况说明，只能在保持。0,0dLLdt注：表示劳动力减少0001ln11(1)KttK()Qt()Qt3.劳动生产率增长条件(2)讨论成立的条件时，注意到，即()()()0QtLtztdddtdtzcy00()()dddztytttd3.劳动生产率增长条件由有：•上式恒成立；2,0dLLdt注：表示劳动力减少0yydtycd1:,(0);dKQdt注3.劳动生产率增长条件由有：•上式等价于02,0dLLdt注：表示劳动力减少1:,(0);dKQdt注11(1)00()11tKcyteK(1)0000101tKKeKK3.劳动生产率增长条件•恒成立；•解出即为的条件。第二种情况的含义是：。,0dLLdt注：表示劳动力减少00(1)000000101tKKKeKKK(()))(QtzLtt回顾