补充内容：空间中常用图形及其方程

首页下页尾页上页空间中常用图形及其方程首页下页尾页上页1.平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA一、平面的方程2.平面的一般方程0DCzByAx1czbyaxx轴上截距y轴上截距z轴上截距3.平面的截距方程首页下页尾页上页1.直线的一般方程二、直线的方程2.直线的点向式方程3.直线的参数方程00:22221111DzCyBxADzCyBxALpzznyymxx000ptzzntyymtxx000首页下页尾页上页1.球面的方程三、常用的曲面方程2.旋转曲面的方程,Rzzyyxx2202020.Rzyx22223.柱面的方程4.二次曲面方程四、常用的曲线方程首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.旋转曲线称为旋转曲面的母线，这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．首页下页尾页上页xozy0),(zyf),,0(111zyMM1)1(zz（2）点M到z轴的距离等于M1到z轴的距离,122|y|yxd建立旋转曲面S的方程：设点M1(0,y1,z1)在曲线C上，从而有f(y1,z1)=0d.0),(0)(222zyxfz,yxf2或,12222yxyxy或即设点M(x,y,z),且有首页下页尾页上页yOz上曲线0),(zyf绕z轴旋转的旋转曲面方程同理：绕y轴旋转的旋转曲面方程.0,22zxyf.z,yxf022首页下页尾页上页例3直线L绕另一条与L相交的直线旋转所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．解此锥面可看成yOz面上直线cotyz圆锥面方程.cot22yxz轴生成的旋转曲面绕z).(cot2222yxz即xozyoxzy首页下页尾页上页）表示什么曲面？其中问：0()(222kzykx例4将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．（1）xOz面上的双曲线12222czax分别绕x轴和z轴；绕x轴旋转绕z轴旋转122222czyax122222czayx旋转双叶双曲面旋转单叶双曲面首页下页尾页上页（2）椭圆012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面（3）抛物线022xpzy绕z轴；pzyx222旋转抛物面首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线CL首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL首页下页尾页上页定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL首页下页尾页上页柱面举例xozyxozyxy22抛物柱面xy平面首页下页尾页上页例12222czby椭圆柱面//轴x12222byax双曲柱面//轴zpzx22抛物柱面//轴y1z平面//轴x、//轴y(,)0//:(,)0FxyzxOyxOyCFxy表示母线轴（即面）、准线为面上的曲线的。柱面首页下页尾页上页三元二次方程的图形曲面称为二次曲面．了解(画)曲面的形状的一种方法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通过考察其交线（即截痕）的形状来了解曲面的形状几种特殊的二次方程的曲面：四、二次曲面——截痕法。首页下页尾页上页1、方程1222222czbyax曲面与坐标面的交线：,012222yczax.012222xczby,012222zbyax椭圆曲面与平面的交线1zz12122222122221)()(zzzccbyzccax——椭球面首页下页尾页上页2、方程1222222czbyax曲面与坐标面的交线：,yczax012222.xczby012222,012222zbyax椭圆曲面与平面的交线1zz12122222122221zz)zc(cby)zc(cax——单叶双曲面双曲线首页下页尾页上页3、方程1222222czbyax曲面与坐标面的交线：,yczax012222,zbyax012222双曲线的交线曲面与平面11)a|x(|xx椭圆——双叶双曲面12212222212221)()(xxaxaczaxaby首页下页尾页上页4、方程qypxz2222曲面与坐标面的交线：,ypxz022,xqyz022抛物线的交线曲面与平面011)z(zz椭圆——抛物面11212122zzqzypzx首页下页尾页上页5、方程qypxz2222曲面与坐标面的交线：,ypxz022,xqyz022抛物线的交线与平面1zz双曲线——双曲抛物面（马鞍面）11212122zzqzypzx的交线与1xx122122xxqypxz首页下页尾页上页*6、方程0222222czbyax——（椭圆）锥面*7、方程12222byax——（椭圆）柱面*8、方程12222byax——（双曲）柱面*9、方程pxy22——（抛物）柱面*10、方程022byax——一对（相交）平面*11、方程022ax——一对（平行）平面二次曲面只有这十一种形状。首页下页尾页上页空间曲线及其方程首页下页尾页上页,0)(;0)(21x,y,zGSx,y,zFS：：若——空间曲线的一般方程。xozy1S2SC空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.一、一般方程0),,(0),,(zyxGzyxF21),,(SMSMCzyxM则的坐标满足M首页下页尾页上页例1方程组表示怎样的曲线？6332122zyxyx解122yx表示圆柱面，6332zyx表示平面，6332122zyxyx表示它们的交线，为椭圆。首页下页尾页上页*例2方程组表示怎样的曲线？4)2(222222ayaxyxaz解222yxaz上半球面,4)2(222ayax圆柱面,交线如图.首页下页尾页上页)()()(tzztyytxx空间曲线C可看成由动点M=M(t)随着参数t的变化而形成的运动轨迹，于是有如下形式的方程——空间曲线的参数方程。二、参数方程首页下页尾页上页例3如果空间一点M在圆柱面222ayx上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．AMM,costax,sintayvtzt得螺旋线的参数方程解xyzo取时间t为参数，并设t=0时动点M位于A(a,0,0)点。.t0于是，在t时刻，M(x,y,z)转过的弧度为=t，上升的高度为vt，数，得参数方程为参若取)(t{,cosax,sinay.vz首页下页尾页上页0),,(0),,(zyxGzyxF0),(yxH给定空间曲线C，称以C为准线、母线//z轴的柱面为C关于xOy面的投影柱面，此柱面与xOy面的交线为C在xOy面上的投影（曲线）。三、空间曲线在坐标面上的投影投影曲线的求法：设C：面的方程联立与xOy00),(zyxH上。面的投影曲线在此曲线关于xOyC上。面的投影柱面在此柱面—关于—xOy得，消去z首页下页尾页上页如图，投影曲线的求解过程：空间曲线投影曲线投影柱面首页下页尾页上页例4求曲线在各坐标面上的投影.211222zzyx解（1）消去变量z后得,4322yx在面上的投影为xoy