解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

1/34解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K参数、角参数）7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，arr221，当r1r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2/342、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有02020kbyax。(其中K是直线AB的斜率)（2）)0,0(12222babyax与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有02020kbyax(其中K是直线AB的斜率)（3）y2=2px（p0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.(其中K是直线AB的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为△，则||||ABkxxAB12·||12ak△·，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来3/34FAPHBQ考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令dyx22，则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如“23xy”，令23xy=k，则k表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率……6、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y1-1,y1）（2）斜率为参数当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P1代入条件P2，方法2可将条件P2代入条件P1，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法一、定义法【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。4/34F′FPHy0xA（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2）连PF，当A、P、F三点共线时，PFAPPHAP最小，此时AF的方程为)1(13024xy即y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，（注：另一交点为(2,21)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（1,41）过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，QRBQQFBQ最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=41，∴Q(1,41)点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例2、F是椭圆13422yx的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。（1）PFPA的最小值为（2）PFPA2的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解：（1）4-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当P是FA的延长线与椭圆的交点时,PFPA取得最小值为4-5。（2）作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=21，∴PHPFPHPF2,21即∴PHPAPFPA25/34xy0ABCMD5当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的MDMC）。解：如图，MDMC，∴26MBMADBMBMAAC即∴8MBMA（*）∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为1151622yx点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4)1()1(2222yxyx，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。解：sinC-sinB=53sinA2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BCACAB53即6ACAB（*）∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）∵2a=6，2c=10∴a=3，c=5，b=4所求轨迹方程为116922yx（x3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）6/34xy0MABA1A2M1M2B1B2例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)则0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9④由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9∴2020041944xxy，1149)14(4944202020200xxxxy≥,5192450y当4x02+1=3即220x时，45)(min0y此时)45,22(M法二：如图，32222ABBFAFBBAAMM①②③7/34xyF1F20ABCD∴232MM，即23411MM，∴451MM，当AB经过焦点F时取得最小值。∴M到x轴的最短距离为45点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】例6、已知椭圆)52(1122mmymx过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A、B、C、D、设f(m)=CDAB,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防)()(22)(2)()(CDABCDABXxxxxxxxmf)()(2DACBxxxx)(2CBXx此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解：（1）椭圆1122mymx中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)8/34则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-)52(122mmm12222)()(2)()(2)(2121mmxxxxxxxxxxCDABmfCACDAB（2）)1211(2121122)(mmmmf∴当m=5时，9210)(minmf当m=2时，324)(maxmf点评：此题因最终需求CBxx，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得0100kmymx，将y0=x0+1，k=1代入得01100mxmx，∴120mmx，可见122mmxxCB当然，解本题的关键在于对CDABmf)(的认识，通过线段在x轴的“投影”发现CBxxmf)(是解此题的要点。三、点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11yxA、),(22yxB，将这两点代入9/34圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种