概率论与数理统计答案

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第一章随机事件及其概率第一节随机事件及其运算习题1-11.写出下列随机试验的样本空间S:(1)袋中有3个红球和2个白球,现在从袋中任取三个球,观察其颜色;解:{,,}SRRRRRWRWW,其中R表示红球,W表示白球,RRT表示取出的三球为2个红球和1个白球.(2)同时掷二枚骰子,观察正面向上点数之和;解:{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}S.(3)对某一目标进行射击,直到击中目标为止,观察其射击次数;解:{1,2,3,}S.(4)生产某产品直到5件正品为止,观察记录生产该产品的总件数;解:{5,6,7,}S.(5)把颜色为红、黄、蓝的三个球放入编号为1,2,3的三个盒子中,观察放球结果.解:{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}SRYBRYBRYBRYBRYBRYB,其中R表示红球,Y表示黄球,B表示蓝球,(1,3,2)RYB表示红球、黄球、蓝球分别放在编号为1、3、2的盒子中.2.举例说明两事件,AB“都不发生”与“不都发生”的区别.解:甲乙2人同时向目标射击1次,事件={}A甲命中目标,事件={}B乙命中目标,事件,AB都不发生表示甲乙都没有命中目标,,AB不都发生包含甲乙都没有命中目标、甲没有命中目标但乙命中目标、甲命中目标但乙没有命中目标3中情况.3.设某试验的样本空间{1,2,,10}S,事件{1,2,3},{3,4,5}AB,,7,6{C}8,试用相应的样本点表示下列事件:(1)AB;(2)BA;(3)BCA;(4))(CBA.解:(1)={1,2}AB;(2)(2){4,5,,10}AB;(3)BC,故ABCASA,={4,510}ABC,,;(4)()={3}ABC,故(){1,2,4,5,,10}ABC.4.某人向一目标连续射击3枪,设{iA第i枪击中目标3,2,1},i试用事件321,,AAA及事件的运算表示下列各事件:(1)A{只有第一枪击中目标};(2)B{只有一枪击中目标};(3)C{至少有一枪击中目标};(4)D{最多有一枪击中目标};(5)E{第一枪、第三枪中至少有一枪击中目标}.解:(1)123AAAA;(2)123123123BAAAAAAAAA;(3)123123123123123123123()()()()()()()CAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA或123CAAA;(4)123123123123()()()()DAAAAAAAAAAAA;(5)13EAA.5.设113{02},{1},{},242SxxAxxBxx求,,ABBAAB.解:13{}42ABBxx,故13{|02}42ABxxx或;1{|1}2ABAxx;()ABAABS6.用排列或组合方法,计算下列随机试验的样本空间的样本点的总数:(1)观察三粒种子发芽情况;(2)从30名学生中任选2人参加某项活动,观察选举情况;(3)将4个QQ漂流瓶随机发给3个不同的QQ用户,观察发送情况.解:(1)32=8;(2)230C=435;(3)43=81.第二节随机事件的概率习题1-21.三个学生证混放在一起,现将其随意发给这三名学生,求事件A={没有一名学生拿到自己的学生证}的概率.解:用,,abc分别表示这三名学生拿到自己的学生证.由于每个学生拿到学生证是随机的,这是一个古典概型,样本空间{,,,,,}Sabcacbbacbcacabcba中共含有6个样本点,其中事件{,}Abcacab中共含有2个样本点,故21()63PA.2.在分别写有2,4,6,7,8,11,12,13的8张卡片中任取两张,将卡片上的两个数组成一个分数,求所得分数为既约分数(分子和分母没有大于1的公因数)的概率.解:由于卡片任意选取,故这是一个古典概型,样本空间S中共含有2828C个样本点.将这8个数分成奇数部分7,11,13和偶数部分2,4,6,8,12,则从奇数部分任取两个数可以组成一个既约分数,从偶数部分任取两个数不可以组成一个既约分数,从奇数部分和偶数部分各任取一个数可以组成一个既约分数,故事件A={所得分数为既约分数}中所含样本点个数为21133518CCC,所以189()2814PA.3.一批零件有40只,其中3只是坏的,从中任取5只进行检查,问:(1)5只全是好的概率为多少?(2)5只中有2只坏的概率为多少?(3)恰有一件坏的概率;(4)至少有一件坏的概率;(5)至多有一件坏的概率.解:零件的抽取是随机的,故此试验是古典概型,样本空间中含有样本点数为540C:(1)设事件A={5只零件全是好},则537540353433()0.6624403938CPAC;(2)设事件B={5只零件中有2只坏的},则32373540()0.0354CCPBC;(3)设事件C={5只零件中恰有1件坏的},则41373540()0.3011CCPCC;(4)设事件D={5只零件至少有1件坏的},显然事件A与D互为逆事件,则()1()10.66240.3376PDPA;(5)设事件E={5只零件至多有1件坏的},则41537337540()0.9635CCCPEC.4.在QQ号码表中任取一个QQ号码,求此号码后面4个数字全不相同的概率.解:QQ号码的任何一位数字可以为0-9中的任意数字,故在只考察QQ号码后4个数字时共有410个QQ号码,每个号码的出现都是等可能的,其中后4个数字全不相同的QQ号码共有10987个,故该号码后面4个数字全不相同的概率为410987=0.50410.5.某公共汽车站的每隔5分钟有一辆汽车进站,乘客到达车站的时间是任意的,求一个乘客的候车时间不超过3分钟的概率.解:乘客到站是随机的,故这是一个几何概型.如图所示,,AC表示汽车进站的时刻,AB之间的时间长度为2分钟.若乘客在AB这段时间内到站(不考虑A时刻点),则需要候车3分钟以上,而在BC这段时间内到站不需要候车3分钟以上,故一个乘客的候车时间不超过3分钟的概率为30.65.6.从0,1()内取两个数,求下列事件的概率:(1)两数之和小于1.5;(2)两数之积小于0.25;(3)两数中最大者大于0.5.解:这是一个几何概型,样本空间S如图所示:设事件A={两数之和小于1.5}={(,)|1.5,0,0}xyxyxy,如阴影部分所示,故110.50.52()0.8751PA(1)设事件B={两数之积小于0.25}={(,)|0.25,0,0}xyxyxy,如阴影部分所示,故10.250.251ln4()0.251.4PBdxx(3)设事件C={两数中最大者大于0.5}={(,)|max(,)0.5,0,0}xyxyxy,如阴影部分所示,故113()1=.224PC7.在长度为a的线段内任取两点将其分为三段,求它们可以构成一个三角形的概率.解:设三条线段长度分别为,,xyaxy,其中0,0xaya,0xya.故在长度为a的线段内任取两点将其分为三段的试验可以与如图所示的三角形区域OAB内每个点一一对应,该试验可看做一个几何概型.事件C={三条线段可以构成一个三角形}当且仅当CBAASyxO11BSyxO11C0.50.511yxGFEBAOyxxyaxyxaxyyyaxyx,即,xy满足0,0,222aaaxyxya,如图中阴影部分所示.故1()4EFGOABSPCS.8.设每个人在一年的12个月中出生是等可能的.试求4个人中至少有2个人是同月出生的概率.解:显然事件A={4个人中至少有2个人是同月出生}与事件B={4个人中没有2个人是同月出生}互为逆事件.由题意知每个人在一年的12个月中出生是等可能的,故试验可以看做一个古典概型,其中样本空间S中含有样本点数为412,故41211109()1()10.427112PAPB.9.从一副扑克牌的13张梅花中,一张接一张有放回地抽取3张,求:(1)没有同号的概率;(2)有同号的概率;(3)3张中至多有两张同号的概率.解:试验是从一副扑克牌的13张梅花中,一张接一张有放回地抽取3张,是一个古典概型,其中样本空间S中含有样本点数为313,故(1)设事件A={没有同号},则3131211()0.781113PA;(2)设事件B={有同号},显然()1()0.2189PBPA;(3)设事件C={3张中至多有两张同号},显然事件C与事件D={3张都同号}互为逆事件,则31311168()1()10.994113169PCPD.10.把10本书随意地放在书架上,求其中指定的4本书放在一起的概率.解:由于书的摆放是随机的,且摆法有限,故该试验是古典概型,其中样本空间S中含有样本点数为10!.事件A={指定的4本书放在一起}中含有的样本点数为4!7!(将指定的4本书放在一起看做一本大书,再与其他6本书一起随机摆放,注意这指定的4本书需要进行排列),故4!7!1()0.033310!30PA.11.设21)(,31)(BPAP,试就下列三种情况分别求出)(BAP的值:(1)A与B互不相容;(2)BA;(3)81)(ABP.解:由()=()()PABPBPAB,得(1)当A与B互不相容时,AB,则()0PAB,故1()()2PABPB;(2)当BA时,ABA,故1()()()6PABPBPA;(3)当81)(ABP时,3()()()8PABPBPAB.12.将3个球随机的放入4个杯子中,求杯子中球的最大个数为1,2,3的概率.解:球放入杯子中是随机的,且放法有限,故这是一个古典概型,其中样本空间S中含有样本点数为34.设事件A={杯子中球的最大个数为1},则其中含有样本点数为343!C(先从4个杯子中拿出三个杯子,然后每个杯子中放一个球),故14363()48CPA;设事件B={杯子中球的最大个数为2},则其中含有样本点数为121433CCC(先从4个杯子中拿出一个杯子,然后在3个球中挑2个球放入,其次在剩下的3个杯子中挑出一个杯子将剩下的1个球放入),故12143339()416CCCPB;设事件C={杯子中球的最大个数为3},则其中含有样本点数为1343CC(先从4个杯子中拿出一个杯子,然后将3个球全部放入),故134331()416CCPC;或1()1()()16PCPAPB.第三节条件概率和全概率公式习题1-31.盒中有10个球,6白4红,无放回地每次取一球,记A{第一次取到白球},B{第二次取到白球},求)|(ABP.解:由题意知6()10PA,651()1093PAB,故1()53(|)6()910PABPBAPA.2.10个考签中有4个难签,今有3人按甲先、乙次、丙最后的次序参加抽签(不放回),求:(1)甲没有抽到难签而乙抽到难签的概率.(2)甲、乙、丙都抽到难签的概率.解:设事件A{甲抽到难签},事件B{乙抽到难签},事件C{丙抽到难签},则(1)事件D{甲没有抽到难签而乙抽到难签}的概率644()()()(|)10915PDPABPAPBA;(2)事件E{甲、乙、丙都抽到难签}的概率4321()()()(|)(|)109830PEPABCPAPBAPCAB.注:本题也可以按古典概型处理,请读者自己完善.3.)(,21)|(,31)|(,41)(BAPBAPABPAP求已知解:由于()()()()PABPAPBPAB,故必须求出(),()PBPAB.由题意知1()()(|)12PABPAPBA,故()1()=(|)6PABPBPAB,则1111()+-=46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