数学培优竞赛新方法(九年级)-第18讲-从三角形的内切圆谈起

第18讲从三角形的内切圆谈起数学是一个非常美的领域，这是因为它的主要部分是由人类的心灵构成的，你可以自由探索自己心中的数学世界，这不是很美吗？那里有真正自由，正是这种自由才是数学美的力量所在。-----瑟斯顿知识纵横和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；2.圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有内切圆的主要方法。当圆外切三角形、四边形是特殊三角形、四边形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：例题求解【例1】如图，⊙O是ABCRt内切圆，切点为FED、、，若BEAF、的长度是方程030132xx的两个根，则ABC的面积是（第18届江苏省竞赛题）思路点拨连OFOE、，易证四边形OECF为正方形，解题的关键是求出CFCE、的长.【例2】如图，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB于点E，则DAE与直角梯形EBCD的周长的比值为（）A.43B.54C.65D.76（杭州市中考题）思路点拨本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为了求出周长，需引入字母或赋值。【例3】如图，已知过原点O和)2,2(M的动圆⊙1O交坐标轴于BA、两点，设BOA的内切圆⊙I的直径为d，求ABd的值.思路点拨OBOAABABOBOAABd22，只需求出OBOA的值，注意点M的坐标特点。【例4】如图，在ABCRt中，其中3,4,90BCACC，其中⊙1O、⊙2O，...、⊙nO为n个相等的圆，⊙1O与⊙2O相外切，⊙2O与⊙3O相外切，……，⊙1nO与⊙nO相外切，⊙1O、⊙2O，...、⊙nO都与AB相切，且⊙nO与BC相切，⊙1O与AC相切，求这些等圆的半径r（用n表示）.（河北省竞赛题）思路点拨nOOO、、、...21在同一直线上，连接nnBOAOGOFO、、、11，把BGAF、分别用r的代数式表示，建立r的方程。圆与梯形的珠联璧合【例5】如图，的直径cmAB8，AM和BN是它的两条切线，DE切o于E，交AM于D，BN于C，设xAD，yBC，求y与x的函数关系式．对于例5，在条件不变的情况下，我们还可得出以下结论：（1）BCADCD；（2）以AB为直径的圆与CD相切；（3）以CD为直径的圆与AB相切；（4）BCAD为一定值。【例6】如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求DEF的度数．（浙江省竞赛题）分析若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本题的关键。例5图例6图学历训练基础夯实1.如图，在梯形ABCD中，CDAB//，⊙O为内切圆，E为切点．若cmOA8，cmOD6，求OE的长为。（天津市中考题）2.如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数xky经过正方形AOBC对角线的交点，半径为)224(的圆内切于△ABC，则k的值。（2011年芜湖市中考题）3.如图，在ABCRt中，3AB，4BC，圆心O在AC上，⊙O与BC相切于点D，求⊙O的半径为。（2011年乌鲁木齐市中考题）4.如图，一圆内切四边形ABCD，且16AB，10CD，则四边形的周长为。（杭州市中考题）第2题第1题第3题第5题第4题第6题5.已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A，B），过点P作半圆O的切线分别交过A，B两点的切线于D，C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②NPON；③PCDP为定值；④PA为NPD的平分线．其中一定成立的是（）A．①②B．②④C．①③④D．②③④（武汉市中考题）6.如图，ABC中，内切圆O和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则以下四个结论中，错误的结论是（）A.点O是ODE的外心B.)(21CBAFEC.ABOC2190D.BDFE21907.如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的⊙O相切于点C．点F是⊙O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使CDBC3，请说明你的理由．（2011年包头市中考题）第7题8.如图，在直角梯ABCD中，BCAD//，90B，13AD厘米，16BC厘米，5CD厘米，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（烟台市中考题）第8题A.B.C.D.能力拓展9.已知等腰ABC中，ACAB，4BC，内切圆的半径为1，则腰长为．（江苏省竞赛题）10.如图，正方形ABCD边长为cm4，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则ADE的面积（）（日本数学奥林匹克竞赛题）11.如图，在ABC中，90C，A、B的平分线相交于点P，又ABPE于点E,若3,2ACBC，则EBAE=12.在平面直角坐标系中，以正方形ABCD的边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为)8,0(，则圆心的坐标为M（）A．)5,4(B．)4,5(C．)4,5(D．)5,4(（2011年滨州市中考题）13.已知BCAC于C，cABbCAaBC,,，下列选项中的半径为baab的是（）（2011年日照市中考题）第11题第10题第12题14.如图，在矩形ABCD中，连接AC，如果O为ABC的内心，过O作ADOE于E，作CDOF于F，则矩形OFDE的面积与矩形的面积的比值为（）A.21B.32C.43D.不能确定（《学习报》公开赛试题）15.如图1，ABCRt两直角边的边长为2,1BCAC．（1）如图2，⊙O与ABCRt的边AB相切于点x，与边CB相切于点y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P是这个ABCRt上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与ABCRt的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．（2011年宜昌市中考题）16.如图所示，已知AB是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作ABDE于点E，连接AC，与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．（全国初中数学竞赛题）第14题第16题综合创新17.如图，点),(nmM在第一象限，且428342nmm，过MO、两点作圆分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于BA、两点，C在弧AO上，BC交MO、于D，且CDCO．（1）求M点的坐标；（2）若60BOM，连AM，求OBAM的值；（3）过D作ABDH于H,求ABDH21的值．18.如图，圆O是等边三角形ABC的内切圆，与AB，AC两边分别切于D，E两点，连接DE，点P是劣弧DE上的一个动点（不与D，E重合），过点P作ABPM于M，ACPN于N，BCPK于K，PK交DE于L点.（1）求证PNPMPL2（2）PNPMPK（2011年黄石二中理科实验班自主招生试题）