数学培优竞赛新方法(九年级)-第25讲-抛物线与直线形(1)——由动点生成的特殊三角形问题

抛物线与直线形（1）——由动点生成的特殊三角形问题在科学研究中，首先要能够发现好的、重大的问题，只有找对了方向，才能不断发现、解决一系列重要的问题，而要找到好的问题，不仅需要丰富的学识，更关系到一个人的观念和文化的品味。——丘成桐知识纵横抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式：（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。例题求解【例1】如图，抛物线452axaxy经过ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且BCAC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出CBA,,三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．（龙岩市中考题）思路点拨对于（3）只需求出P点纵坐标，将问题转化为相关线段长。解题的关键是分情况讨论并正确画图。【例2】已知抛物线kkxkxy322，交x轴于BA,两点（A在B的左边），交y轴于C点，且y有最大值4．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使PBC是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．（包头市中考题）思路点拨对于（2），设P点坐标为ba,，寻找相似三角形，建立ba、的另一关系式，解联立而得到的方程组，可求出ba、的值。【例3】抛物线31412xy与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．（1）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；②若含30角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．（2011年绍兴市中考题）思路点拨对于（2），解题的关键是求出CQ的长。由条件出发，构造全等三角形或相似三角形，而能发现EQDC、、、四点共圆，可使问题获得简解。【例4】如图1，抛物线02acbxaxy的顶点为4,1C，交x轴于BA,两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为0,3．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使FHGD,,,四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点HG,的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使BMDDNM∽？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（2011深圳市中考题）思路点拨对于（2），因DF是一个定值，故需使HFGHDG最小即可，从轴对称入手；对于（3）由题意知BDMNMD，要使BMDDNM∽，只要使BDMDMDNM，即BDNMMD2；或从角入手得到隐含的相似三角形。学力训练1.如图1，已知抛物线的顶点为1,2A，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以BDCO,,,四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；（3）连接ABOA,，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．（临沂市中考题）2.如图，已知抛物线与x轴交于0.3,0,1BA两点，与y轴交于点3,0C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以MDCB,,,为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．（临沂市中考题）3.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点0,1C．如图所示，B点在抛物线221212xxy图象上，过点B作xBD轴，垂足为D，且B点横坐标为3．（1）求证：COABDC；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2011年西宁市中考题）4.已知抛物线cbxaxy2的对称轴为直线2x，且与x轴交于BA,两点，与y轴交于点C，其中3,0,0,1CA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．①如图1．当PBC面积与ABC面积相等时．求点P的坐标；②如图2．当BCAPCB时，求直线CP的解析式．（2011年莆田市中考题）5.在平面直角坐标系中，抛物线32bxaxy与x轴的两个交点分别为0,1,0,3BA，过顶点C作xCH轴于点H．（1）直接填写：a，b，顶点C的坐标为；（2）在y轴上是否存在点D，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），ACPQ于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标．（2011年潜江市中考题）