数学培优竞赛新方法(九年级)-第26讲-抛物线与直线形(1)--由动点生的特殊斯四边行问题

§26抛物线与直线形（2）——由动点生成的特殊四边形问题科学家的好奇心是永远满足不了的，因为随着每一个进展，正如巴普洛夫所说：“我们打到了更高的水平，看到了更广阔的的天地，见到了原先在视野之外的东西。”——贝弗里奇知识纵横抛物线与直线形的结合另一表现形式是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊四边形，有以下常见的基本形式：（1）抛物线上的点能否构成平行四边形；（2）抛物线上的点能否构成矩形、菱形、正方形；（3）抛物线上的点能否构成梯形；特殊四边形的性质与判定是解这类问题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解这类问题的关键。例题求解【例1】如图，抛物线322xxy与x轴交BA,两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于CA,两点，其中C点的横坐标为2．（1）求BA,两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使GFCA,,,这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．（义乌市中考题）思路点拨对于（3），AF可能为平行四边形的边或对角线，故四个点能组成四边形的情况由多种，需全面讨论。【例2】如图，对称轴为直线27x的抛物线经过点0,6A和4,0B．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点yxE,是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（河南省中考题）思路点拨对于（2），若AEOE，则平行四边形OEAF为菱形；若EFOA且EFOA，则平行四边形OEAF为正方形。先求出E点坐标，再看E点是否在抛物线上。【例3】如图：二次函数baxxy2的图象与x轴交于0,2,0,21BA两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且BDCA,,,四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以PBCA,,,四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．（临江市中考题）思路点拨问题（1）中已经确定了ABC的形状，只需再构造直角就可解决问题（3）。点P是直线与抛物线的交点，但梯形的另一直角顶点不确定。【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的BA,两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知:1:5OAOB，OBOC，ABC的面积15ABCS，抛物线2(0)yaxbxca经过CBA,,三点。(1)求此抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；(3)在抛物线上是否存在异于CB,的点M，使ABC中BC边上的高为72？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（2011年成都市中考题）分析对于（2），设出E点的坐标，由EFEH，建立方程；对于（3），假设存在点M，使MBC中BC边上的高为27，则点M应在与直线BC平行且与直线相距27的两条平行线上。学力训练1.如图，抛物线1417452xxy与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作xBC轴，垂足为点0,3C．（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为x秒，线段MN的长为s个单位，求s与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接BNCM,，四边形BCMN能否为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．（2011年广州市中考题）2.已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数3xy的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数xy23的图象上，且MAMO．二次函数cbxxy2的图象经过点MA,．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数3xy的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．（2011年上海市中考题）3.如图，已知抛物线abxxy32过点3,0,0,1BA，与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以CBQP,,,为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（烟台市中考题）4.如图，在平面直角坐标系中，直线2343xy与抛物线cbxxy241交于BA、两点，点A在x轴上，点B的横坐标为8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点BA、重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作ABPE于点E．①设PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．（2011年河南省中考题）