高一数学-指数函数-函数的值域与最值-(教案)

、掌握指数函数的概念和指数运算的性质2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。3、掌握函数值域与最值的解法教学内容1．一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x次所得层数为y，则y与x的函数表达式是：2xy.2．一根1米长的绳子从中间剪一次剩下12米，再从中间剪一次剩下14米，若这条绳子剪x次剩下y米，则y与x的函数表达式是：12xy.问题：这两个函数有何特点?同步讲解一、指数函数的概念你知道么？一般地，函数xya01aa且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.注意：为何规定0a，且1a?当0a时，xa有些会没有意义，如1233；当0a时，xa有些会没有意义，如22100；当1a时，xa恒等于1，没有研究的必要.例（★）判断下列函数哪些是指数函数？（1）4xy；（2）4xy；（3）4yx；（4）4xy；（5）14xy；（6）32xy.解：（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是；（5）不是；（6）不是.二、指数扩充及其运算性质1、给定正实数a，对于任意给定的整数,mn（,mn互质），存在唯一的正实数b，使得nmba，我们把b叫做a的mn次幂，记作mnba，它就是分数指数幂，我们可以将其写成根式形式，即mnmnaa2、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。3、指数从有理数推广到实数后，可以证明指数的运算法则仍成立.即0,,;0,,;0,0,.mnmnnmmnnnnaaaamnRaaamnRabababnR三、指数函数的图像和性质图象特征函数性质a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0,1）a0=1自左向右,图象逐渐上升自左向右,图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x＞0,ax＞1x＞0,ax＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x＜0,ax＜1x＜0,ax＞1一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质①定义域：R②值域：（0,+∞）③过点（0,1）,即x=0时y=1④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当x＞0时,y＞1④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当x＞0时,0＜y＜1利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.（1）32和1.72；（2）230.6和340.6.【分析与解答】（1）因为指数2xy函数在,上是增函数，又31.7，所以31.722.（2）因为指数函数0.6xy在,上是减函数，又2334，所以23340.60.6.求下列函数的定义域与值域。（1）142xy（2）23xy（3）1421xxy【分析与解答】根据指数函数的定义域为R，逐个分析。【解】（1）由404xx所以定义域为,4xxRx且1410214xx所以值域为0,1yyy（2）定义域为R。故值域为1yy（3）定义域为R，令2xt，则220,2111tyttt所以值域为1yy函数,xxfxagxb的图像如图，试确定,ab的大小；若3127fg，求,fxgx的解析式。【分析与解答】由图像知，11,1fgab由题意：327ab所以，3,27ab所以函数的解析式分别为：3,27xxfxgx已知函数)1(122aaayxx在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值【分析与解答】解：)1(122aaayxx，换元为)1(122atatty，对称轴为1t.当1a，at，即x=1时取最大值，略解得a=3(a=－5舍去)银行一年定期储蓄年利率为1.89%，如果存款到期不取继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（20%利息缴纳利息税）自动转存一年期定期储蓄.（1）某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，问5年后，这笔钱扣除利息税后的本利和为多少，精确到1元.（2）设本金为a元，年利率为r，扣除利息税20%后的本金和为y，写出y随年x变化的函数式.【分析与解答】（1）1年后的本利和为120201.89%80%2011.89%80%y；2年后的本利和为221111.89%80%11.89%80%2011.89%80%yyyy；……5年后的本利和为552011.89%80%y.由计算器计算得521.5584y.所以，5年后的本利和为215584元.（2）根据上面计算，得180%xyar.1.将指数函数0,1xfxaaa，表示成一个奇函数和一个偶函数的和。答案；1122xxxxfxaaaa2、若函数0,1xfxaxaaa有两个零点，则实数a的取值范围是_________答案：1a3、求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy（2）11()2xy（3）3xy（4）1(0,1)1xxayaaa．解：（1）210x∴12x原函数的定义域是1{,}2xxRx，令121tx则0,ttR∴8(,0)tytRt得0,1yy，所以，原函数的值域是{0,1}yyy．（2）11()02x∴0x原函数的定义域是0,，令11()2xt(0)x则01t，yt在0,1是增函数∴01y，所以，原函数的值域是0,1．（3）原函数的定义域是R，令tx则0t，3ty在,0是增函数，∴01y，所以，原函数的值域是0,1．（4）原函数的定义域是R，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0xa∴101yy，∴11y，所以，原函数的值域是1,1．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。4、（1）阅读不等式213xx的解法；设2133xxfx，因为函数1221,33xxyy在R上单调递减，若任意取1212,,xxRxx，则1212112222112121,,33333333xxxxxxxx即有12fxfx，再此fx在,内单调递增。11,11;11fxfxxfx当时，当时，1fx的解为1x，故不等式213xx的解为1x试用上面的方法解不等式345xxx（2）证明：345xxx有且仅有一个实数解2x【解】（1）设函数3455xxfx，因为函数1234,55xxyy在R上都是单调递减，若任意取1212,,xxRxx，则12223344,5555xxxx所以1222123434,5555xxxxfxfx即所以3455xxfx在R上都是单调递减又因为341,2155xxf即21;21xfxxfx当时，当时，的解为2x（2）方程345xxx等价于34155xx，由（1）知，34155xx有且只有一个实数根2.所以，345xxx有且仅有一个实数解2x5、讨论424xxfxmm的值域。【解】令2222,0,4424xmmttfxgxtmtmtm显然gx没有最大值。（1）当0m时，即2min0,4224mmmgtgm（2）当0m时，即0,0,2mgt在是增函数，4gxm综合，当0m时，24,4mfxm当0m时，4,fxm6、求函数23412xxy的单调递增区间。【解】12ty是减函数，23412xxy函数的单调递增区间就是234txx的单调递减区间。又2223444121txxxxxt的单调递减区间是2,23412xxy的单调区间是2,7、判断下列函数的奇偶性。（1）10,11xxafxaaa（2）11212xfx【解】（1）11xxafxa的定义域为,00,x，任取,00,x1111xxxxaafxfxaa所以，11xxafxa是奇函数。（2）11212xfx的定义域为,00,x任取,00,x112111212221212xxxxfxfx所以11212xfx是奇函数。8、解不等式221250.20.2xxxx【解】00.21所以指数函数0.2ty在R上是减函数。又22125220.20.2125xxxxxxxx解得113x所以原不等式的解集为113xx方法回顾方法回顾--------函数的值域和最值知识结构知识结构一、相关概念1、值域：函数Axxfy，)(，我们把函数值的集合}/)({Axxf称为函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。教师：你还有哪些收获和感悟？二、基本函数的值域1、一次函数）（0abkxy的值域为R；2、二次函数）（02acbxaxy；]44(0);44[022abac，，a，abac，a值域是时值域是时3、反比例函数0kxky的值域为}0y|y{；4、指数函数)10(aaayx且的值域为}0/{yy；5、对数函数)10(logaaxya且的值域为R。6、函数y=sinx、y=cosx的值域是1,1三、求函数值域的方法（注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域）1、观察法：“直线类，反比例函数类”用此方法；2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域；例1.]53(232，求函数xxxy的值域；解：1223)61(32322xxxy＝求函数所以此函数的值域为]721223[，.例2.求562xxy函数的值域；解：;44