第二十四讲-配方法的解题功能(含答案)-

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第二十四讲配方法的解题功能把代数式通过凑配等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的,这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于改变代数式的原有结构,是求解变形的一种手段;配方法的实质在于改变式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具,配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用.运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”,应具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式.例题求解【例1】已知有理数x,y,z满足)(2121zyxzyx,那么(x—yz)2的值为.(2001年北京市竞赛题)思路点拨三元不定方程,尝试从配方法人手.【例2】若32211zyx,则222zyx可取得的最小值为()A.3B.1459C.29D.6。(2004午武汉市选拔赛试题)思路点拨通过引参,设kzyx32211,把x,y,z用k的代数式表示,则222zyx转化为关于k的二次三项式,运用配方法求其最小值.【例3】怎样的整数a、b、c满足不等式:cbabcba233222.(匈牙利数学奥林匹克试题)思路点拨一个不等式涉及三个未知量,运用配方法试一试.【例4】求方程m2-2mn+14n2=217的自然数解.(上海市竞赛题)思路点拨本例是个复杂的不定方程,由等式左边的特点,不难想到配方法.【例5】求实数x、y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.(2001年全国初中数学联赛试题)思路点拨展开整理成关于x(或y)的二次三项式,从配方的角度探求式子的最小值,并求出最小值存在时的x、y的值.【例6】为了美化校园环境,某中学准备在一块空地(如图,矩形ABCD,AB=10m,BC=20m)上进行绿化,中间的一块(图中四边形EFGH)上种花,其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪,并要求AC=AH=CF=CG,那么在满足上述条件的所有设计中,是否存在一种设计,使得四边形EFGH(中间种花的一块)面积最大?若存在,请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积;若不存在,请说明理由.(2003年温州市中考题)思路点拨这是一道探索性几何应用题,解题的关键是代数化.设AE=AH=CF=CG=xm,则BE=DG=(20-x)m,四边形EFGH的面积可用x的代数式表示,利用配方法求该代数式的最大值.注配方的对象具有多样性,数,字母、等式、不等式都可以配方;同一个式于可以有不同的配方结果,可以配一个平方式,也可以配多个平方式.配方法的实质在于揭示式子的非负性,而非负数有以下重要性质:(1)若有限个非负数的和为0,则每一个非负数都为零;(2)非负教的最小值为零.学历训练1.若03)(2222cbacba,则abccba3333.(2003年江西省中考题)2.设2122ba,2122cb,则222222444accbbacba的值等于.(第1l届“希望杯”邀请赛试题)3.分解因式:32422baba=.4,已知实数x、y、z满足5yx,92yxyz,那么zyx32=.(“祖冲之杯”邀请赛试题)5.若实数x、y满足052422yxyx,则xyyx23的值是()A.1B.223C.223D.2326.已知20001999xa,20011999xb,20021999xc,则多项式acbcabcba222的值为()A.0B.1C.2D.3(2002年全国初中数学竞赛题)7.整数x、y满足不等式yxyx22122,则x+y的值有()A.1个B.2个C.3个D.4个(第14届“希望杯”邀请赛试题)8.化简312213242为()A.5-43B.43-lC.5D.1(2003年天津市竞赛题)9.已知正整数a、b、c满足不等式cbabcba8942222,求a、b、c的值.(江苏省竞赛题).已知x、y、z为实数,且满足3262zyxzyx,求222zyx的最小值.(第12届“希望杯”邀请赛试题)11.实数x、y、z满足0223362zxyyxyx,则zyx2的值为.12.若521332412ccbaba,则a+b+c的值为.13.x、y为实数,且yxyyx24222,则x、y的值为x=,y=.14.已知941012422yyxyxM,那么当x=,y=时,M的值最小,M的最小值为.15.已知4ba,042cab,则a+b=()A.4B.0C.2D.-2。(重庆市竞赛题)16.设0.ba,abba322,则baba的值为()A.2B.3C.2D.5(江苏省竞赛题)17.若a、b、c、d是乘积为l的4个正数,则代数式cdbdbcadacabdcba2222的最小值为()A.0B.4C.8D.1018.若实数a、b、c满足9222cba,代数式222)()()(accbba的最大值是()A.27D.18C.15D.1219.已知x+y+z=1,求证:31222zyx.(苏奥尔德莱尼基市竞赛题).已知ab,且243)()(babababa,a、b为自然数,求a、b的值.21.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足baa2212,cbb2212,acc2212,试求△ABC的面积.22.某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品,每件获利润8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元.用同样工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件.如果获利润最大的产晶是第k档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),求k的值.(2003年山东省竞赛题)

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