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第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质1．如图，用尺规作图作∠AOB的平分线，方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D两点，再分别以点C，D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.由作法得△OCP≌△ODP的依据是()A．SASB．ASAC．AASD．SSSD2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是()A．PC＝PDB．OC＝ODC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝PC3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为()A．1B．2C．3D．4DB4．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为()A．1B．2C．3D．45．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝____cm.D86．(2015·广西)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是____．7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠BAC.则S△ACD∶S△ABD＝____.43∶58．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B＝∠C.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE＝DF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C9．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为2，则点P到AB的距离为()A．1B．2C．3D．410．如图，已知∠AOB＝40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为()A．50°B．40°C．30°D．20°BD11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△BED的周长是____．12．(2015·孝感)我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别为E，F.求证：OE＝OF.解：由SSS可证△ABD≌△CBD，∴∠ABD＝∠CBD，从而由角平分线的性质证得OE＝OF6cm13．如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为点A，C.求证：∠ADB＝∠CDB.证明：∵BD平分∠ABC，PA⊥AB，PC⊥BC，∴PA＝PC，∵∠ABP＝∠CBP，∴∠APD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△ADP≌△CDP(SAS)，∴∠ADP＝∠CDP，∴∠ADB＝∠CDB14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.证明：(1)由角的平分线的性质证DC＝DE，再证Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)，∴CF＝EB(2)证Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋EB＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB，∴AB＝AF＋2EB15．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.证明：过D作DE⊥BA延长线于E，DF⊥BC于F，由角平分线的性质证得DE＝DF，再证Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠DAE＝∠C，∵∠BAD＋∠DAE＝180°，∴∠BAD＋∠C＝180°方法技能：1．应用角的平分线的性质时，角的平分线、角的平分线上的点到角两边的距离两个缺一不可，不能错用为角平分线上的点到角两边任意点的距离相等．2．用角的平分线的性质证明线段相等，可以直接得出结论，不需再用证明三角形全等来完成．易错提示：应用角的平分线的性质时，易忽略“到角两边的距离”而出错．