2014年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年山东，理1，5分】已知,abR，i是虚数单位，若ia与2ib互为共轭复数，则2iab（）（）（A）54i（B）54i（C）34i（D）34i【答案】D【解析】ia与2ib互为共轭复数，2222,1i2i44ii34iabab，故选D．（2）【2014年山东，理2，5分】设集合{12}Axx，{2,[0,2]}xByyx，则AB（）（A）[0,2]（B）(1,3)（C）[1,3)（D）(1,4)【答案】C【解析】12xQ，212x，13x，2xyQ，0,2x，1,4y，1,3ABI，故选C．（3）【2014年山东，理3，5分】函数221()(log)1fxx的定义域为（）（A）1(0)2，（B）(2)，（C）1(0)(2,)2，（D）1(0][2)2，，【答案】C【解析】22log10x2log1x或2log1x2x或102x，故选C．（4）【2014年山东，理4，5分】用反证法证明命题“设,abR，则方程20xaxb至少有一个实根”时要做的假设是（）（A）方程20xaxb没有实根（B）方程20xaxb至多有一个实根（C）方程20xaxb至多有两个实根（D）方程20xaxb恰好有两个实根【答案】A【解析】反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程20xaxb至少有一个实根”时，要做的假设是：方程20xaxb没有实根，故选A．（5）【2014年山东，理5，5分】已知实数,xy满足(01)xyaaa，则下列关系式恒成立的是（）（A）221111xy（B）22ln(1)ln(1)xy（C）sinsinxy（D）33xy【答案】D【解析】,01xyaaaxyQ，排除A，B，对于C，sinx是周期函数，排除C，故选D．（6）【2014年山东，理6，5分】直线4yx与曲线3yx在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）（A）22（B）42（C）2（D）4【答案】D【解析】34xx，3244220xxxxxxx，解得直线和曲线的交点为0x，2x，2x，第一象限面积232401428444xxdxxx，故选D．（7）【2014年山东，理7，5分】为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）（A）6（B）8（C）12（D）18【答案】C【解析】第一组与第二组频率之和为0.240.160.4，200.450，500.3618，18612，故选C．0舒张压/kPa频率/组距0.360.240.160.081716151413122（8）【2014年山东，理8，5分】已知函数21fxx，gxkx．若方程fxgx有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）（A）102（，）（B）112（，）（C）12（，）（D）2（，）【答案】B【解析】画出fx的图象最低点是2,1，gxkx过原点和2,1时斜率最小为12，斜率最大时gx的斜率与1fxx的斜率一致，故选B．（9）【2014年山东，理9，5分】已知,xy满足的约束条件10230xyxy，当目标函数0,0zaxbyab在该约束条件下取得最小值25时，22ab的最小值为（）（A）5（B）4（C）5（D）2【答案】B【解析】10230xyxy求得交点为2,1，则225ab，即圆心0,0到直线2250ab的距离的平方2225245，故选B．（10）【2014年山东，理10，5分】已知0,0ab,椭圆1C的方程为22221xyab，双曲线2C的方程为22221xyab，1C与2C的离心率之积为32，则2C的渐近线方程为（）（A）20xy（B）20xy（C）20xy（D）20xy【答案】A【解析】2222122cabeaa，2222222cabeaa，44244124344abeeaba，22ba，故选A．第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2014年山东，理11，5分】执行下面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为．【答案】3【解析】根据判断条件2430xx，得13x，输入1x，第一次判断后循环，12,11xxnn；第二次判断后循环，13,12xxnn；第三次判断后循环，14,13xxnn；第四次判断不满足条件，退出循环，输出3n．（12）【2014年山东，理12，5分】在ABCV中，已知tanABACAuuuruuur，当6A时，ABCV的面积为．【答案】16【解析】由条件可知costanABACcbAA，当6A，23bc，11sin26ABCSbcA．（13）【2014年山东，理13，5分】三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为1V，PABC的体积为2V，则12VV．【答案】143【解析】分别过,EC向平面做高12,hh，由E为PC的中点得1212hh，由D为PB的中点得12ABDABPSS，所以1212111:334ABDABPVVShSh．（14）【2014年山东，理14，5分】若46baxx的展开式中3x项的系数为20，则22ab的最小值为．【答案】2【解析】将62)(xbax展开，得到612316rrrrrTCabx，令1233,3rr得．由333620Cab，得1ab，所以2222abab．（15）【2014年山东，理15，5分】已知函数()()yfxxR，对函数ygxxI，定义gx关于fx的“对称函数”为函数yhxxI，yhx满足：对任意xI，两个点,,,xhxxgx关于点,xfx对称，若hx是24gxx关于3fxxb的“对称函数”，且hxgx恒成立，则实数b的取值范围是．【答案】210b【解析】根据图像分析得，当()3fxxb与2()4gxx在第二象限相切时，210b，由()()hxgx恒成立得210b．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2014年山东，理16，12分】已知向量,cos2,sin2,amxbxn，函数fxab，且yfx的图像过点,312和点2,23．（1）求,mn的值；（2）将yfx的图像向左平移0个单位后得到函数ygx的图像，若ygx图像上各最高点到点0,3的距离的最小值为1，求ygx的单调递增区间．解：（1）已知()sin2cos2fxabmxnx，)(xf过点2(,3),(,2)123，()sincos31266fmn，244()sincos2333fmn，1332231222mn，解得31mn．（2）()3sin2cos22sin(2)6fxxxx，()fx左移后得到()2sin(22)6gxx．设()gx的对称轴为0xx，2011dx解得00x，(0)2g，解得6．()2sin(2)2sin(2)2cos2362gxxxx．222,kxkkz．,2kxkkz．()fx的单调增区间为[,],2kkkz．（17）【2014年山东，理17，12分】如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是等腰梯形，60DAB，22ABCD，M是线段AB的中点．（1）求证：111//CMAADD平面；（2）若1CD垂直于平面ABCD且1=3CD，求平面11CDM和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．解：（1）连接1AD，1111ABCDABCD为四棱柱，11//CDCD，//CDAM，CDAM，11//AMCD，11AMCD，11AMCD为平行四边形，11//ADMC，又111CMAADD平面，B1C1D1A1DCBMA4111ADAADD平面，111//ADAADD平面．（2）解法一：11//ABAB，1111//ABCD，1111DCMABCD面与共面，作CNAB，连接1DN，则1DNC即为所求二面角，在ABCD中，1,2,60DCABDAB32CN，在1RtDCN中，13CD，32CN，1152DN．解法二：作CPAB于p点以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，1CD为z轴建立空间坐标系，1113(1,0,3),(0,0,3),(,,0)22CDM，11113(1,0,0),(,,3)22CDDM设平面11CDM的法向量为111(,,)nxyz，11110133022xxyz，1(0,2,1)n，显然平面ABCD的法向量为2(1,0,0)n，12121215cos,55nnnnnn，显然二面角为锐角，所以平面11CDM和平面ABCD所成角的余弦值为55，113352cos515152NCDCNDN．（18）【2014年山东，理18，12分】乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上的概率为15，在D上的概率为35．假设共有两次来球且落在,AB上各一次，小明的两次回球互不影响．求：（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望．解：（1）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A，51143()656510PA．（2）的可能取值为012346，，，，，，111(0)6530P；11131(1)35656P；131(2)355P；11112(3)256515P；131111(4)253530P；111(6)2510P．的分布列为：012346P30161511523011101111211191()012346306515301030E．（19）【2014年山东，理19，12分】已知等差数列{}na的公差为2，前n项和为nS，且1S，2S，4S成等比数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）令114(1)nnnnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT．解：（1）1121412,,2,46dSaSadSad，1S，2S，成等比，2214SSS，解得11,21naan．（2）111411(1)(1)()2121nnnnnnb