解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题

1解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一真题链接1.（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-abx1•x2=ac把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．22.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则3.已知关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0．①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k的值为二名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx3(1)2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxxx(2)121212112220072007xxxxxx(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx(4)22212121212||()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，33312121212()3()xxxxxxxx等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例解方程组x+y=5Xy=6解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0①的两根由方程①解得z1=2,z2=3∴原方程组的解为x1=2,y1=3x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2由题意知△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-44∴为所求。三典题示例例1已知关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根12,xx满足12||xx．分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是120xx，二是12xx，所以要分类讨论．解：(1)∵方程两实根的积为5∴222121[(1)]4(1)034,412154kkkkxxk所以，当4k时，方程两实根的积为5．(2)由12||xx得知：①当10x时，12xx，所以方程有两相等实数根，故302k；②当10x时，12120101xxxxkk，由于302k，故1k不合题意，舍去．综上可得，32k时，方程的两实根12,xx满足12||xx．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0．例2已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．5(1)是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．解：(1)假设存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．∵一元二次方程24410kxkxk的两个实数根∴2400(4)44(1)160kkkkkk，又12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根∴1212114xxkxxk∴222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxxxxxxx939425kkk，但0k．∴不存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．(2)∵222121212211212()44224411xxxxxxkxxxxxxkk∴要使其值是整数，只需1k能被4整除，故11,2,4k，注意到0k，要使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值为2,3,5．说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．(2)本题综合性较强，要学会对41k为整数的分析方法．6四巩固强化1.（2011湖北潜江，17，6分）若关于x的一元二次方程x2—4x＋k—3＝0的两个实数根为x1、x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．2.（2011•南充，18，8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．3.（2011•湖南张家界，23，8）阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么，12bxxa，12cxxa．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根（1）填空：m+n=，m•n=；（2）计算nm11的值．4.（2011湖北孝感，22，10分）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．5.（2011•玉林，20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1的两个实数根．求：（x1+x2）2÷（2111xx）的值．6.（2011贵州遵义，24，10分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字。（1）用列表法求关于x的方程02cbxx有实数解的概率；（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。7.（2011广西防城港20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根．求（x1＋x2）2÷)11(21xx的值．8.（2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，17，6分）若关于x的一元二次方程70342kxx的两个实数根为1x、2x，且满足213xx，试求出方程的两个实数根及k的值.9.（2011江苏苏州，15，3分）巳知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a+b－2）+ab的值等于____．10.（2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=，另一个根是．11.（2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是如：x2﹣5x+1=0．12.（2011•德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=．13.（2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为﹣1．14.（2011四川泸州，16，3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为．15.（2011四川遂宁，12，4分）若x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则x12+x1x2+x22=．五参考答案真题链接答案：1.82.3.①解：由△=4（a2-3）2-4（a2-7a-b+12）=0得：a+b-3=0，又2a-b=0，∴a=1，b=2．设这个方程的解为x1、x2，则x1+x2=-2（a-3）=4＞0，x1•x2=a2-7a-b+12）=4＞0，∴x1、x2均为正根；②∵a=1，b=2，∴y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12可化为：y=x2-4x+4=（x-2）2，将此图象向下移动3个单位，得：y=（x-2）2-3，顶点（2，-3），对称轴为x=2．4.巩固强化答案1.考点：根与系数的关系。专题：方程思想。分析：根据根与系数的关系（x1＋x2＝—ab，x1•x2＝ac）列出等式，再由已知条件“x1＝3x2”联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．解答：解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝4①，x1•x2＝k—3②（2分）9又∵x1＝3x2③，联立①、③，解方程组得1321xx（4分）∴k＝x1·x2＋3＝3×1＋3＝6（5分）答：方程两根为x1＝3，x2＝1；k＝6．（6分）点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1＋x2＝—ab，x1•x2＝ac．解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a、b、c的意义．2.考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组。专题：代数综合题。分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．解答：解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，解得k≤0．故K的取值范围是k