第二类曲面积分讲解

第十章第五节机动目录上页下页返回结束第二类曲面积分二、第二类曲面积分的概念与性质一、有向曲面三、第二类曲面积分的计算一、有向曲面观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧机动目录上页下页返回结束n曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面机动目录上页下页返回结束莫比乌斯带典型单侧曲面:播放机动目录上页下页返回结束侧曲面。单为双侧曲面。否则称为没有改变，则称的方向点时，到越过边界移动，最后回上不点出发，在，若动点从，记为向，取定一个指处的法向量有两个指向在上任意一点，为为一光滑曲面，设nMMnMM定义：用曲面法向量的指向规定曲面的侧，规定了侧的曲面称为有向曲面。机动目录上页下页返回结束曲面侧的具体规定如下：（1）若的方程为),(yxzz：规定：法向量与z轴正向的夹角为锐角的一侧称为的上侧（正侧），另一侧称为下侧（负侧）。机动目录上页下页返回结束（2）若的方程为),(zyxx：规定：法向量与x轴正向的夹角为锐角的一侧称为的前侧（正侧），另一侧称为后侧（负侧）。（3）若的方程为),(xzyy：规定：法向量与y轴正向的夹角为锐角的一侧称为的右侧（正侧），另一侧称为左侧（负侧）。机动目录上页下页返回结束（4）若为封闭曲面:规定：法向量朝外的一侧称为的外侧（正侧），朝内的一侧称为内侧（负侧）。正、负侧分别记为，。二、第二类曲面积分引例:流体流向曲面一侧的流量.(1)流速场为常向量v，有向平面区域A，求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).Av0nAcosvA流量机动目录上页下页返回结束AvnvA0xyzo机动目录上页下页返回结束（2）设稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为1）的速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(设Σ是速度场中的一片有向曲面，函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在Σ上连续，求在单位时间内流向Σ指定一侧的流体的质量。解：利用微元法分割、近似、求和、取极限把曲面Σ分成n小块iS(iS同时也代表第i小块曲面的面积),在iS上任取一点),,(iii,xyzoiS),,(iiiivin则该点流速为iv单位法向量为.0in机动目录上页下页返回结束1.分割记该点处曲面Σ的单位法向量为：通过iS流向指定侧的流量的近似值为).,,2,1(0niSnviii,),,(),,(),,(),,(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii3.求和通过Σ流向指定侧的流量niiiiSnv10kjiniiiicoscoscos0机动目录上页下页返回结束2.近似则该点流速为：iiiiiiiiiniiiiiSRQP]cos),,(cos),,(cos),,([1]))(,,())(,,())(,,([1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP3.取极限0.的精确值取极限得到流量]))(,,())(,,())(,,([lim10xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSPniiiiSnv100lim机动目录上页下页返回结束设Σ为光滑的有向曲面，取定一侧，记这一侧的单位法向量为),,(0zyxn。又设向量函数),,(zyxF在Σ上有定义。把Σ任意分成n块小曲面iS(iS同时又表示第i块小曲面的面积),),,(iii是iS上任意取定的一点，),,(0iiin表示该点处的单位法向量，作和式：第二类曲面积分的定义：niiiiiiiiSnF10),,(),,(机动目录上页下页返回结束如果当各小块曲面的直径的最大值0时,上面和式有极限（极限值与区域的分法和点的取法无关），则称此极限值为向量函数),,(zyxF在有向曲面Σ上沿指定一侧对坐标的曲面积分（或第二类曲面积分，或向量场上的面积分），记作：机动目录上页下页返回结束001lim(,,)(,,)niiiiiiiiFnSdSzyxnzyxF),,(),,(0SdzyxF),,(（0dSndS称为有向面积元素）当Σ是封闭曲面时，第二类曲面积分常记作SdzyxF),,(dSnF0——两类曲面积分之间的关系机动目录上页下页返回结束0coscoscosFndSPQRdS(,,)(,,),(,,),(,,)FxyzPxyzQxyzRxyz若0(,,)cos,cos,cosnxyz，则我们常用记号dydz，dzdx，dxdy表示面积微元dS在yoz平面，zox平面，xoy平面上的有向投影，即,cosdSdydz,cosdSdzdxdSdxdycos则zyPdd称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;yxRdd称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;机动目录上页下页返回结束0coscoscosFndSPQRdSPdydzQdzdxRdxdy——第二类曲面积分的坐标表示其中：第二类曲面积分存在的必要条件:我们可以证明：当向量函数),,(zyxF的三个分量函数),,(zyxP，),,(zyxQ，),,(zyxR在有向光滑曲面Σ上连续时，第二类曲面积分总存在。机动目录上页下页返回结束说明：dSzyxnzyxv),,(),,(0引例中，流向指定一侧的液体的流量为：以后如不特殊说明我们总假定),,(zyxP，),,(zyxQ，),,(zyxR在Σ上连续。ddddddPyzQzxRxy（3）有向性：dSnFdSnF00基本性质：（2）可加性：21dSnFkdSnFkdSnFkFk02201102211)(（1）线性性质：21000dSnFdSnFdSnF机动目录上页下页返回结束注意：第二类曲面积分没有第一类曲面积分的对称性质及有关不等式的性质。例1：计算曲面积分Qxdydzydzdxzdxdy，其中是球面2222xyza的外侧。机动目录上页下页返回结束解：{,,}Fxyz设，则0QFndS其中0n是球面外侧的单位法向量。0//Fn因为，且同向，0||FnF所以a0QFndSadSadSa表面积34a01{,,}nxyza事实上，容易求得：例2：把对坐标的曲面积分dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(化成对面积的曲面积分，其中是平面63223zyx在第一卦限部分的上侧。机动目录上页下页返回结束解：63223zyx上侧的法向量为：}32,2,3{n单位法向量为：}532,52,53{0ndxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(dSzyxRQzyxP)),,(322),,(3(51三、第二类曲面积分的计算法),(yxzzxyDxyzoxyS)(设积分曲面由方程),(yxzz给出，在xoy面上的投影区域为xyD，且设函数),(yxz在xyD上具有一阶连续偏导数，函数P，Q，R在上连续。机动目录上页下页返回结束n有向曲面Σ的法向量的方向余弦为,1cos22yxxzzzdxdyzzdSyx221的法向量为：}1,,{yxzzn法向量为上侧时取正号，为下侧时取负号机动目录上页下页返回结束,1cos22yxyzzz.11cos22yxzz其中：若取上侧，取正号，取下侧，取负号。机动目录上页下页返回结束dSnF0RdxdyQdzdxPdydzdSRQPcoscoscosxyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,,)(),(,,{dxdyyxzyxR}1),(,,则若的方程为：),(yxzz，xyDyx),(，则其中：若取上侧，取正号，取下侧，取负号。RdxdyQdzdxPdydzxyDyxzyxzyxQzyxzyxP)(),(,,)(),(,,{dxdyyxzyxR}1),(,,机动目录上页下页返回结束合一投影法若的方程为：),(zyxx，yzDzy),(，则其中：若取前侧，取正号，取后侧，取负号。RdxdyQdzdxPdydzyzDyxzyzyxQzyzyxP)(,),,(1,),,({dydzxzyzyxRz)}(,),,(机动目录上页下页返回结束合一投影法若的方程为：),(xzyy，zxDxz),(，则其中：若取右侧，取正号，取左侧，取负号。RdxdyQdzdxPdydzzxDxzxzyxQyzxzyxP1),,(,)(),,(,{dzdxyzxzyxRz)}(),,(,机动目录上页下页返回结束合一投影法•若则有zyzyxPdd),,(),(zy,PzyD),(zyxzydd•若则有xzzyxQdd),,()z,,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明:yxzyxRdd),,(),,(yxDyxR),(yxzyxdd机动目录上页下页返回结束•若则有(上正下负)分面投影法例3：计算流速为：23vxiyjzk的流体在单位时间内流过锥体：222zyx，az0全表面外侧的流量，设流体的密度为1。机动目录上页下页返回结束解:所求流量为：23Qxdydzydzdxzdxdy,,:1取上侧az,,:222取下侧yxz1321zdxdyydzdxxdydzQdxdyaxyD333a222:ayxDxy合一投影法xyDyxdxdyazyzx]3)(2)([oxyzahxyDdxdyyxyx22222dda0222220sincos23a21QQQ333aa32a机动目录上页下页返回结束2322zdxdyydzdxxdydzQxyDyxdxdyyxzyzx]3)(2)([22,,:222取下侧yxz222:ayxDxy合一投影法例4：计算zdxdydzdxyzdydzxI22，其中为圆柱面：122yx的前半个柱面介于平面0z及3z之间的部分，取后侧。机动目录上页下页返回结束解1:的方程化为：21yx，yzDzy),(o311yzDyzdydzxzxyzyIyzDzy)]()()1[(22dydzyyzyyzD]1)1[(232关于y是奇函数dyyzdz10230)1(26．在第四卦限部分的上侧为平面为连续函数其中计算1,),,(,]),,([]),,(2[]),,([zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例5：xyoz111解1yxz1:机动目录上页下页返回结束xyDxzyxfI1]),,({[xy