2015年中考第一轮复习一次函数

3.2一次函数第三章函数及其图象考点一一次函数的定义一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数．温馨提示：正比例函数是一次函数，但一次函数y＝kx＋bk，b是常数，k≠0不一定是正比例函数，只有当b＝0时，它才是正比例函数.考点二一次函数的图象1．一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象是一条过(0，b)，－bk，0的直线．2．正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条过(0,0)的直线．3．一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象与k，b符号的关系k，b的符号图象图象的位置k＞0b＞0经过第一、二、三象限b＝0经过第一、三象限和原点k＞0b＜0经过第一、三、四象限b＞0经过第一、二、四象限k＜0b＝0经过第二、四象限和原点k＜0b＜0经过第二、三、四象限温馨提示：直线y＝kx＋b的位置由k和b的符号决定，1k决定直线从左至右呈上升趋势还是呈下降趋势：当k＞0时，直线呈上升趋势；当k＜0时，直线呈下降趋势.2b决定直线与y轴的交点的位置：当b＞0时，交点在y轴的正半轴上；当b＝0时，交点在原点；当b＜0时，交点在y轴的负半轴上.4．一次函数图象的平移一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象是一条直线，它可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到(当b0时，向上平移；当b0时，向下平移)．考点三一次函数的性质一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而增大，图象一定经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象一定经过第二、四象限．考点四用待定系数法求一次函数的解析式用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤(1)设出含有待定系数的函数解析式y＝kx＋b；(2)把两个已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组；(3)解二元一次方程组，求出待定系数k，b的值；(4)将求得的待定系数的值代入y＝kx＋b.考点五用函数观点看方程与不等式1．一次函数与一元一次方程：求自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0⇔解方程ax＋b＝0.2．一次函数与一元一次不等式(1)解不等式ax＋b＞0⇔求自变量x在什么范围内，一次函数y＝ax＋b的值大于0；(2)解不等式ax＋b＜0⇔求自变量x在什么范围内，一次函数y＝ax＋b的值小于0.3．一般地，每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时对应的函数值；从“形”的角度看，解方程相当于确定直线与坐标轴交点的坐标．温馨提示：函数值y＞0时，对应函数的图象在x轴上方；y＜0时，对应函数的图象在x轴下方.考点六一次函数的应用1．用一次函数解决实际问题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量；(2)建立一次函数关系式；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用函数的性质解决问题；(5)答．2．一次函数的应用有如下常用题型(1)根据实际问题中给出的数据列相应的函数解析式，解决实际问题；(2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较；(3)结合实际问题的函数图象解决实际问题．温馨提示：运用一次函数的有关知识解决实际问题的关键是结合方程、不等式的有关知识求解；在确定一次函数的解析式时，要注意自变量的取值范围应受实际条件的限制.考点一一次函数的图象和性质例1(2014·河北)如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y＝(m－2)x＋n，则m的取值范围在数轴上表示为()【点拨】由一次函数y＝(m－2)x＋n的图象可知m－2＜0，即m＜2.把m＜2在数轴上表示时，要从表示2的点向左画，且用空心圆圈．故选C.【答案】C方法总结：一次函数y＝kx＋b的系数与图象的关系可总结为k，b都大于0不经过第四象限，k，b都小于0不经过第一象限，k大于0、b小于0不经过第二象限，k小于0、b大于0不经过第三象限.考点二用待定系数法求一次函数的解析式例2(2014·钦州)某地出租车计费方法如图，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象解答下列问题：(1)该地出租车的起步价是__元；(2)当x2时，求y与x之间的函数关系式；(3)若某乘客有一次乘出租车的里程为18km，则这位乘客需付出租车费多少元？【点拨】(1)根据函数图象可以得出出租车的起步价是7元；(2)设当x2时，y与x的函数关系式为y＝kx＋b，运用待定系数法就可以求出结论；(3)将x＝18代入(2)的关系式就可以求出y的值．解：(1)由图象可知该地出租车的起步价是7元；(2)设当x2时，y与x的函数的关系式为y＝kx＋b，代入(2,7)，(4,10)，得2k＋b＝7，4k＋b＝10，解得k＝32，b＝4.∴y与x的函数关系式为y＝32x＋4；(3)把x＝18代入函数关系式y＝32x＋4，得y＝32×18＋4＝31.答：这位乘客需付出租车车费31元．方法总结：确定一次函数解析式常用的方法是待定系数法，具体步骤是：首先设出一次函数的一般形式，然后把已知条件代入所设解析式，得到关于待定系数的方程或方程组，解方程或方程组求出待定系数的值，从而写出一次函数的解析式.考点三一次函数图象的平移例3(2014·大庆)图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，则直线l对应的一次函数关系式为____________．【点拨】设图中直线对应的一次函数关系式为y＝kx＋1，将(－1,0)代入，得－k＋1＝0，所以k＝1，因此图中一次函数的关系式为y＝x＋1，将该函数图象向下平移1个单位得到y＝x，再将该函数图象向右平移2个单位得到y＝x－2，即直线l对应的一次函数关系式为y＝x－2.故答案为y＝x－2.【答案】y＝x－2方法总结：一次函数y＝kx＋b向上、向下平移mm＞0个单位得到y＝kx＋b±m；一次函数y＝kx＋b向左、向右平移nn＞0个单位得到y＝kx±n＋b.考点四一次函数与方程、不等式的关系例4(2014·烟台)如图，已知函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P，则不等式kx－3＞2x＋b的解集是________．【点拨】由图象看出，函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象的交点的横坐标为x＝4，当x＜4时，函数y＝kx－3的图象在y＝2x＋b的图象的上方，即kx－3＞2x＋b.【答案】x＜4方法总结：从函数值的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于或小于0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝ax＋b在x轴上或下方部分所有点的横坐标所构成的集合.考点五一次函数的应用例5(2014·湘西州)湘西盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安排15辆汽车装运A、B、C三种不同品质的椪柑120吨到外地销售，按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑，每种椪柑所用车辆不少于3辆．(1)设装运A种椪柑的车辆数为x，装运B种椪柑的车辆数为y，根据下表提供的信息，求出y与x之间的函数关系式；椪柑品种ABC每辆汽车运载量(吨)1086每吨椪柑获利(元)80012001000(2)在(1)条件下，求出该函数自变量x的取值范围，车辆的安排方案共有几种？请写出每种安排方案；(3)为减少椪柑积压，湘西制定出台了促进椪柑销售的优惠政策，在外地运销客户原有获利不变的情况下，政府对外地运销客户，按每吨50元的标准实行运费补贴，若要使该外地运销客户所获利润W(元)最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润W(元)的最大值．【点拨】本题考查利用一次函数解决方案问题．(1)根据“A、B、C三种不同品质的椪柑共20吨”得到10x＋8y＋6(15－x－y)＝120，从而得到y与x之间的函数关系式；(2)由“每种椪柑所用车辆不少于3辆”列出不等式组进行求解；(3)根据题意列出利润W与x的函数关系式并利用x的取值范围分析利润的最大值．解：(1)∵装A种椪柑的车辆数为x，装B种椪柑的车辆数为y，∴装C种椪柑的车辆数为(15－x－y)，由题意，得10x＋8y＋6(15－x－y)＝120.∴y＝15－2x.(2)15－x－y＝15－x－(15－2x)＝x，故装C种椪柑的车辆数也为x，∴x≥3，15－2x≥3，解得3≤x≤6.∵x为整数，∴x＝3,4,5,6.故车辆有4种安排方案，方案如下：方案一：装A种椪柑3辆车，装B种椪柑9辆车，装C种椪柑3辆车；方案二：装A种椪柑4辆车，装B种椪柑7辆车，装C种椪柑4辆车；方案三：装A种椪柑5辆车，装B种椪柑5辆车，装C种椪柑5辆车；方案四：装A种椪柑6辆车，装B种椪柑3辆车，装C种椪柑6辆车．(3)W＝10x×800＋8×(15－2x)×1200＋6x×1000＋120×50＝－5200x＋150000，∵W是x的一次函数，k＝－5200＜0，∴W随x的增大而减少，∴当x＝3时，W最大＝－5200×3＋150000＝134400(元)，答：应采用方案一：装A种椪柑3辆车，装B种椪柑9辆车，装C种椪柑3辆车，利润W的最大值为134400元．方法总结：一次函数的应用题，主要有1利用一次函数的性质，如增减性等来解决生活中的优化问题；2利用一次函数的图象寻求实际问题的变化规律解题；3与方程或不等式组相结合解决实际问题.1．一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴的交点坐标是(A)A．(0,4)B．(4,0)C．(2,0)D．(0,2)2．对于函数y＝－2x＋1，下列结论正确的是()A．y的值随x值的增大而增大B．它的图象经过第一、二、三象限C．它的图象必经过点(－1,2)D．当x＞1时，y＜0解析：∵k＝－2，∴y随x的增大而减小，故A错误；∵k＜0，b＞1，∴图象经过第一、二、四象限，故B错误；把x＝－1代入y＝－2x＋1，得y＝－2×(－1)＋1＝3，故它的图象不经过点(－1,2)，故C错误；把x＝1代入y＝－2x＋1，得y＝－2×1＋1＝－1，根据函数的性质可得当x＞1时，y＜0，故D正确．答案：D3．已知直线y＝kx＋b经过点(k,3)和(1，k)，则k的值为(B)A.3B．±3C.2D．±2解析：∵直线y＝kx＋b经过点(k,3)和(1，k)，∴将这两点分别代入y＝kx＋b中，得k2＋b＝3，k＋b＝k，解得k＝±3，b＝0.故选B.4．如图，一次函数y＝(m－5)x＋6－2m的图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，则m的取值范围是()A．m＜5B．m＜3C．3＜m＜5D．m＞3解析：根据图象，得m－50，6－2m0.解得3＜m＜5.故选C.答案：C5．将直线y＝12x向左平移个单位后得到直线y＝12x＋3.解析：方法一：设向左平移n个单位，根据平移的规律可得12(x＋n)＝12x＋3，解得n＝6，即向左平移6个单位后得到直线y＝12x＋3.方法二：直线y＝12x与x轴的交点为(0,0)，直线y＝12x＋3与x轴的交点为(－6,0)，故向左平移6个单位后得到直线y＝12x＋3.答案：66．如果点P1(3，y1)，P2(2，y2)在一次函数y＝2x－1的图象上，则y1＞y2(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大．又∵32，∴y1y2.7．某高级中学要印制宣传册，联系了甲、乙两家印刷厂．甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的8折收费，另收900元的制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元则按4折优惠，且甲、乙两厂都规定：一次印刷数量不低于1000份．(1)分别求出两家印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(2)如何根据印刷数量选择比较合算的方案？如果该中学要印制3000份宣传册，那么应当选择哪家印刷厂？需要多少费用？解：(1)y甲＝1.2x＋900，x≥1000，且x是整数；y乙＝1.5x＋360，x≥1000，且