第一章 张量代数基础

计算塑性引论教案（第一章张量代数基础）蔡中义计算塑性引论1第一章张量代数基础§1.1概述标量（或数量、纯量，scalarquantity）用一个正值或负值的数量就可确定物理量或几何量。例如物理学中的功、能、质量、温度等，几何学中的长度、距离等。标量用一个字母就可以表示。向量（矢量，Vector）必须用一组数量来描述的物理量或几何量。其中的每一个数量都称为这个向量或矢量的分量，分量的数值与坐标系的选择有关。如物理学中的力、力矩、位移、速度等，几何学中的位置矢径、方向矢量等。力向量：xyzPPPP，ˆˆˆxxyyzzPPPPeeeˆxe，ˆye，ˆze为坐标轴x，y，z的单位向量（基向量，基矢量），坐标轴方向的分量：ˆxxPPe，ˆyyPPe，ˆzzPPe位移向量：uvwu，ˆˆˆxxyyzzuuuueee分量：ˆxxuue，ˆyyuue，ˆzzuue。向量或矢量的书面表达形式通常为黑体字母。由于书写上的限制，书写时常采用P，u或{}P，{}u，P，u等形式。张量（Tensor）在力学分析中，描述三维空间中一点的应力、应变状态需要九个分量，这九个分量就构成了张量：应力分量：x，y，z，xy，xz，yx，yz，zx，zy应力张量：xxyxzyxyyzzxzyzσ应变分量：x，y，z，xy，xz，yx，yz，zx，zy第一章张量代数基础2应变张量：xxyxzyxyyzzxzyzε张量的表达形式为黑体字母，书写上也采用，或[]，[]等形式。§1.2指标表示法§1.2.1指标记号与求和约定1．指标记号（指标符号）123,,xxx中的1，2，3；ix中的i——指标标号。向量与张量常采用带有字母指标标号的字母来表示。在采用字母指标（如i），表示该指标遍取1,2,3（三维空间）或1,2（二维空间）。ix就表示坐标x,y,z；ˆie就表示x,y,z三个方向的基矢量ˆˆˆ,,xyzeeeiu就表示x,y,z三个方向的位移分量u,v,wij就表示x，y，……zy等共九个分量这种表示向量与张量的方法就是指标表示法。自由指标（FreeIndex）或指定指标（AsignedIndex）：同一项中不重复出现的标号，如上面的,ij。显然，改变自由指标的字母不会影响它的含义。例如向量ia也可记为ka，都表示遍取123,,aaa。iiiabc也可以写为mmmabc或kkkabc等等，自由指标遍取1,2,3后的三个分量由三个方程表示：111222333abcabcabc2．求和约定向量、张量运算中常常遇到求和。例如坐标变换3''1iijjjxx在'ijjx中j指标重复两次，这种在单项式中重复出现的指标称为哑标（DummyIndex）。计算塑性引论3求和约定：在一个单项式中，如果同一个指标重复两次（即哑标），就表示要把这个指标取值为1,2,3时所得到的各项加起来。因此，哑标是一种求和指标（SummationIndex）。根据这一约定，上式可以省略求和记号，直接写为''iijjxx（1.2.1-1）哑标只是说明求和记号，采用什么符号都不影响求和结果，表示的哑标字母可以任意改变。如上式也可以记为''iikkxx。求导简记法将微分算符简记为：,iix（1.2.1-2）例如,iix，,iijjuux，2,iijkjkuuxx求和约定也适用于含导数的项。只要同一个文字指标在乘积中或同一项中出现两次，则理解为对所有同类项求和。如：312,123iiiiaaaaaxxxx§1.2.2符号与置换符号1．ij符号ij称为KronekerDelta（克罗内克尔符号），定义为1if0ifijijij（1.2.2-1）表示9个分量，并对称ijji单位矩阵可记为：100()010001ijI（1.2.2-2）性质：（1）1122333ii（2）ikkjikjkijAAA，ikkjkikjijAAA第一章张量代数基础4（3）ijijiiAA（4）iijjaa（5）对于坐标ix有，,iijijjxxx2．置换（排列）符号（顺序记号，e-PermutationSymbol）ijkeijke亦称列维-齐维塔（levi-Civita）或黎奇（Ricci）符号，是一个三指标符号，共有27个分量，定义为110ijke（1.2.2-3）（1,2,3）顺循环序列：123，231，312（1,2,3）逆循环序列：132，213，321按（1.2.2-3）的定义，ijke共有27个分量，其中只有6个不为零：011222133131122121113112111321213132312231123eeeeeeeeeeeeee表示行列式111213212223123123313233||ijkijkijkijkAAAAAAeAAAeAAAAAAA（1.2.2-5）当原行列式中的行或列任意调换位置时，得到的新行列式的值为||rstijkrisjtkeeAAAA（调换行）ijkirjskteAAA（调换列）（1.2.2-6）3．e等式ijkistjsktjtksee（1.2.2-7）4．ij、ijke在向量运算中的应用如果ˆie，（1,2,3i）为单位正交矢量，则123123当（i,j,k）是顺循环序列当（i,j,k）是逆循环序列当（i,j,k）中有相同者（非循环序列）计算塑性引论5（1）ˆˆijijee（2）ˆˆˆijijkkeeeeˆˆˆˆ0kijkeeee（3）ˆˆˆˆˆˆˆ()()ijkijklljkliljkliljkiijkeeeeeeeeeeee（基矢量的混合积）向量a、b、c，每个向量都可用笛卡儿坐标系的基向量表示为ˆiiaae，ˆiibbe，ˆiicce其中ia、ib、ic分别为向量a、b、c在正交坐标系ˆie下的对应投影分量。（1）向量的点积或标积（dotproduct，scalarproduct）()iiiijjijijabababab或ˆˆˆˆiijjijijijijababababeeee（1.2.2-11）（2）向量的叉积或矢积（crossproduct，vectorproduct）叉积ab的分量：()iijkjkeabab（1.2.2-12）（3）向量的混合积（mixedproduct，三矢标积scalartripleproduct，箱积boxproduct）()ijkijkeabcabc（1.2.2-13）§1.3笛卡尔张量§1.3.1张量的定义本章关于张量的定义是建立在一个直角笛卡尔坐标系变换到另一个直角笛卡尔坐标系的基础之上的，所以定义的张量称为笛卡尔张量（Cartesiantensor）。1．向量与坐标变换在三维的笛卡尔直角坐标系123oxxx（基矢量为：1ˆe，2ˆe，3ˆe）中，向量a可以按基矢量分解成三个分量，每个分量都是实数，则向量a可以表示为ˆiiaae，ˆiiaae当（i,j,k）成偶排列当（i,j,k）成奇排列当（i,j）相同（不成排列）第一章张量代数基础6当直角坐标系从123oxxx变换到新坐标系1'2'3'oxxx（基矢量为：1'ˆe，2'ˆe，3'ˆe）时，在新坐标系下向量a可以又表示为''ˆiiaae，''ˆiiaae向量a可以用新老坐标系表示，且有''ˆˆiiiiaaaee由ˆiiaae，''ˆiiaae可得''''ˆˆˆiikkikikaaaaeee'''''ˆˆˆˆˆiikkikikikkaaaaaeeeee其中，'''''ˆˆˆˆˆˆcos(,)kikiikikikeeeeee为新老坐标系轴间夹角的余弦。第一个右下标代表新坐标轴轴号，第二个右下标代表老坐标轴轴号。在老坐标系下，新坐标轴的基矢量可分别表示为：1'1'11'21'311'11'21'32'2'12'22'322'12'22'33'3'13'23'333'13ˆˆˆˆˆˆˆˆcos(,)cos(,)cos(,)ˆˆˆˆˆˆˆˆcos(,)cos(,)cos(,)ˆˆˆˆˆˆˆˆcos(,)cos(,)cos(,)eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee12'23'33ˆˆˆeee''ˆˆiijjee写成矩阵的形式为ˆˆ'eβe（a）其中1'2'3'ˆˆˆˆ'{}Teeee，123ˆˆˆˆ{}Teeee，用老坐标系表示新坐标系的坐标变换矩阵为：ax2x1x31ˆe2ˆe3ˆe1'a2'a3'ax2’x1’x3’1'ˆe2'ˆe3'ˆeax2x1x31ˆe2ˆe3ˆe1a2a3a计算塑性引论71'11'21'32'12'22'33'13'23'3ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆeeeeeeβeeeeeeeeeeee在新坐标系下，老坐标轴的基矢量可分别为111'12'13'1'11'12'13'221'22'23'2'21'22'23'331'32'33'3'31'3ˆˆˆˆˆˆˆˆcos(,)cos(,)cos(,)ˆˆˆˆˆˆˆˆcos(,)cos(,)cos(,)ˆˆˆˆˆˆˆˆcos(,)cos(,)cos(,)eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee1'2'2'33'3'ˆˆˆeee''''ˆˆˆiijjjijeee写成矩阵的形式为ˆˆ'Teβe（b）用新坐标表示老坐标的坐标变换矩阵为：11'12'13'1'12'13'121'22'23'1'22'23'231'32'33'1'32'33'3ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆTeeeeeeeeeeeeβeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee（c）由（a）、（b）、（c）式，有ˆˆˆ'TTeβeββe因此有：TββI，1Tββ即''kikjij，''''ikjkij（e）且有detdetdetdet1Tββββ，则det||1ββ。总结上述结果：当坐标系进行旋转变换时，坐标基向量服从的变换规律坐标基变换的公式写成指标形式为''''ˆˆˆˆ'iijjijijeeee（1.3.1-1）当坐标系进行旋转变换时，向量的分量服从的变换规律'1'2'3''123123''1'2'3'(,,)(,,)(,,)(,,)iijjijijaxxxaxxxaxxxaxxx或''''iijjjijiaaaa，{'}{}{}{'}iiTiiaaaaββ（1.3.1-2）其中{'}ia、{}ia为由a的在新老坐标系中分量构成的列向量。可以用分量从坐标变换的角度给向量一个全新的解析定义。第一章张量代数基础8【定义】如果一个量a的分量在坐标变换时服从式（1.3.1-2），则称为向量，或叫一阶张量（first-ordertensor）。现在把向量这种新定义推广到张量。2．张量（tensor）【定义】如果一个量T在笛卡儿直