第一章 张量分析(书籍附,详尽易懂)

张量分析第一章线性空间若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、…。则加法法则将F中的任意两个元素+cba),(cba,;abFcF显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为：×,;abFcFcba),(abc乘法法则将F中的任意两个元素,;F称为具有加法和乘法法则的实数集空间。实数空间关于加法和乘法法则有如下性质：（1）（2）（3）存在唯一的元素,对每一个元素使得：（5）（6）（7）F中存在称为关于乘法的单位元素1，使得：xyyxFyx,zyxzyx)()(Fzyx,,F中存在称为关于加法的单位元素0，使得：Fxxx0（4）FxFx)(0)(xx)()(xbaxba,,abxFxbxaxba)(,,abxFxbxayxa)(,,,abxyF（8）xx1xF1.1矢量集合的运算对实数域F，定义n元有序组：1(,,)nxxFxFxn,,1且当：必有：由n元有序组构成的集合：称为n维仿射空间。),,(),,(11nnxxxx),,(11nnxxxx1(,),,1nniinEFFxxxFxin个中的每一个元素称为点。nE记：且分别称为放射空间的原点、位置矢量和负矢量。对于n维仿射空间，所有的位置矢量构成一个集合：(0,,0),o),,(1nxxx1,(,,)nxxniFxxxxViin1,,),,(10x定义实数域上位置矢量的加法运算和数乘运算：0,;VFxy,z111(,,)(,,)(,,)nnnxxxxxxx111(,)(,)nnnxyxyzzxyz0,;VFxy,z并称定义了实数域上的加法运算和数乘运算的集合为实数F、V,,,0zyx（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）xyyx)()(zyxzyxV0中存在称为关于加法的单位元素o，使得：xox0VxV0中每一个元素x都存在唯一的(-x)，使得：oxx)()()(xxxxx)(yxyx)(xx10VxF存在称为关于数乘的单位元素1，使得：域上的矢量空间。且仍记为V0。数域上的矢量空间V0具有如下性质：证：（1）∵∴（2）∵（4）∵（5）∵（6）∵),,(11nnyxyxyx),,(11nnxyxyxyyx∴nnnzyxzyx)(,,)(111zyx),,(111nnnzyxzyx))((,),(()(111nnnzyxzyxzyx),,(111nnnzyxzyx()()x+y+z=x+y+z=x+y+z0)0,,0(Vo)0,0(1nxxox),,(1nxxxox∴1111()()(,,)((),,())(,,)(),,))nnnnxxxxxxxxx)()(xx∴))(,,)(()(1nxxx11(,,)nnxxxxxxx)(∴（8）∵∴（7）∵11()(,)nnxyxyxy11(,)nnxyxy()xyxyF1),(111nxxx定义与x和y相关，且线性依赖参数0≤t≤的矢量z：xx1证毕。yxztt)1(定义连接x、y两点的直线段是满足：(1)01,ttttFxyzxy仿射空间点的集合。x、y两点的直线段给出空间x点指向y点的矢量uxy。uxy是空间由x点指向y点的有向直线段。对于任意空间的点x，所有以x点为起点的矢量按：))()(,),()((),,(),,(11111111nnnnnnnnxzxyxzxyxzxyxzxzxyxyuu定义加法和数乘运算。显然所有以x为起点的矢量当取为加法单位元素时，构成矢量空间，且记为Vx。Vx空间中的矢量称为约束矢量。Fxyxyxyxynnnnxy))(,),((),,(1111uxyu设Ftttt,10)1(yxzxy定义若存在非o的s位置矢量满足：Ftbabtatt,,,|)())(1(sysxzab则称abxy与平行。切记为abxy∥。例1：若o（原点）是二维Eucild空间的给定点。过o点的水平和竖直直线为实数数轴。当：)3,2(x)1,6(y)5.1,1(a)1,2(b时，试证明：xyuabu∥并将结果画在图上。解：(4,0)sby(1)()()tatbabxsys(2(1),3(1))(2,))ttttatb(42,32))ttatb当t=b时：位置矢量标定b点。即：)1,2()23,24(bb由此确定b=1。当t=a时：位置矢量标定a点。即：)5.1,1()23,24(aa由此确定a=0.75。图中画出了计算结果。uabuxyS(b)(a)x1x2246231uabuxyx1x2321654321图1－1设是实数域上的矢量空间，x是中任一给定的位置矢量。是所有起点在x点的约束矢量空间。对中的所有矢量，按（1.1-7）式的平行性，在中有对应的矢量。若矢量1.2自由矢量0V0VxV0VxV0110,(,,)nnVxyxyVyxyxyxxVuFtttt,10)()1(yxxξyxx确定。而矢量可由有向线段：0VyFttttz,10)()1(yooyo确定。容易验证Ftttt,10)()()1(xyxoξyxx满足（1.1-7）式（取）。xsyyox,,,1,0ba因此：yxxuy∥则起点在x的矢量可由有向线段：对任意给定的矢量，对不同的x所确定的约束矢量空间，按平行性可确定一类约束矢量。定义空间中的每一点约束矢量，对给定的，按有向直线段：0VyxVyxxuy∥nE0Vy(1)()()01,ttttFxxyξoxyx确定的矢量所构成的一类矢量，称为矢量的等价类。中所有矢量按（1.2-1）所构成的等价类的集合称为自由矢量集合。记为。应当注意的是自由矢量的集合中的一个元素是一类按平行性等价的约束矢量，而不是一个矢量。yxxuy0V0V例2：如图所示给定的5个矢量。试确定其平行性和等价性。12345rrrrr、、、、1r2r3r4r5r：：：：：Ftttt,10)2,1()0,2()1(Ftttt,10)3.4,65.0()3,0()1(Ftttt,10)4,4()2,2()1(Ftttt,10)1,1()1,1()1(Ftttt,10)1,4()1,3()1(r5b5a5r4b4a4a3r3b2a2r2a1b1r1-2-2-1-144332x1211b3x2图1－2与(取)由此可得，。显然由（1.1-7）式可知∥，但由（1.2-1）式可知和不等价（因为）。1r2r：12bbsbtattbtattbtatt)23.2,35.0()3.22,65.11()03.2,65.12()1()()()1(sbsaba1122当时：当时：)3.4,65.0()23.2,35.0(tt)3,0()23.2,35.0(ttbtta35.0a1b1r2r1r2r0.350a显然没有一组，的解满足：1r3r：21(,)sss与(取)btattbtasstsstbtatt)4,4()2,2)(1()2,1()0,2()1()()()1(212111sbsaba331s42;4120;222121ssss中第一组关于的方程。即不存在满足（1.1-7）式，因此和不平行。1s0Vs2r1r3r4r：12bbs与(取)btattbtattbtattbtatt)21,21()1,1()1,1)(1()34,34()23,23()1()()()1(33sbsaba44当时：btta0a1b1r2r当时：由此可得，。显然等价。)1,1()12,12(tt)1,1()12,12(tt1r5r：51sbb与(取当时：btta0a1b1r5r当时：由此可得，。显然等价。btattbtattttbtattbtatt)12,3(),4)(1,33()12,51()10,52()1()()()1(11sbsaba55)1,4()12,3(tt)1,3()12,3(tt由平行性及（1.2-1）式确定了自由矢量集合在集合中同样可以引入关于自由矢量的加法和数乘的运算，使得自由矢量集合具有线性的空间结构。为此定义自由矢量集的元素（自由矢量）间的加法运算和实数域上的数乘运算。设，；与、等价的中的矢量为V0VaFaVxxFbVyyXYV0V0V)中的加法和数乘分别定义为：、；。则自由矢量的集合在上述加法和数乘运算下构成线性空。且将带有上述加法和数乘运算的自由矢量空间记为。YXyxXxaa0Vx图1－3b=b1+b2yb2b1a2a1x2x1654321123a=a1+a2o例3：确定图示自由矢量a、b的和a+b、5a、2b。解：1aos12(1)()()01(1)(22,22)(22,32)01(0,)01ttttttttoxasas1bos12(1)()()01(1)(44,11)(64,21)01(2,)01tttttttttoybsbs)2,2()1,2()1,0(yxba)5,0()1,0(555xa)2,4()1,2(222ybx1y1yx2y=2b5x=5ax+y=a+b图1－4结果如图1-4所示。平行四边形法则：obaabcabo图1－5(a)(b)设自由矢量a、b∈V，其起点和终点分别由a1、a2；b1、b2∈V0矢量标定。a、b矢量对应的有向直线段分别为：10)1(2121tttaaaa10)1(2121tttbbbb1aosa1bosb10)(10)()1(10)()()1(121221ttttttttaaaaosasaoxaa12aax10)(10)()1(10)()()1(121221ttttttttbbbbosbsboybb12bby2121abxyaabb将b矢量的起点平行移动至a矢量的终点。设b矢量平行移动后的终点由矢量b3∈V0确定，则：12bas10)()()1(10)())1(1221212132ttttttbabbabsbs(bba01223Vbabb（a）起点在a1，终点b3在的有向直线段确定自由矢量c平行移动至起点在o点。则与c等价的起点在o点的矢量z可由有向直线段确定：oz1aos10)()()1(10)()()1(11221131tttttta