量纲分析与相似

第四章量纲分析和相似原理第一节量纲分析的意义和量纲和谐原理一、量纲的概念单位（Unit）：量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。量纲（Dimension）：撇开单位的大小，表征物理量的性质和类别。如长度量纲为[L]。——“质”的表征。基本量纲（FundamentalDimension）：具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取质量M，长度L、时间T、即[M-L-T]为基本量纲体系。导出量纲（DerivedDimension）:是指由基本量纲导出的量纲。量纲［A］=L2［ρ］=ML-3[F]=MLT-2量纲公式:某一物理量q的量纲[q］都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示TLMq][几何学量纲：=0，0，=0运动学量纲：=0，0，0动力学量纲：0，0，0分类二、无量纲量0当则［q］=1无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。特点：(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性；(2)不受运动规模的影响，模型与原型常用同一无量纲数；(3)在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲量。物理方程中各项物理量的量纲之间存在着下列规律性：1．物理方程中各项的量纲应当相同。称为量纲和谐性（或齐次性）。2．任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而不会改变物理过程的规律性。3．物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的规律性，不会因所选择的基本量纲不同而发生改变。三、量纲和谐原理（TheoryofDimensionalHomogeneity）凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。量纲和谐原理的重要性：b、根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。c、可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方程或经验公式的正确性和完整性。第二节量纲分析法一、瑞利法（Rayleigh）瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。具体分析步骤如下：1、确定与所研究的物理现象有关的n个物理量；2、写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：pnbaiqqKqq1213、根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数a，b，……p，代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。pnbaiqqqq121应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数n不超过4个，待求量纲指数不超过3个。【例1】求水泵输出功率的表达式(P112)【例2】求圆管层流的流量关系式（P113）二、布金汉（Buckingham）定理（定理）若某一物理过程包含n个物理量，即0)(321nqqqqf其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量）则该物理过程可由n个物理量构成的n－m个无量纲项所表达的关系式来描述，即0)(1mnF定理的解题步骤：（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式：0)(321nqqqqf（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量，一般取m=3，如q1、q2、q3。在管流中，一般选d，，三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H，，。（3）基本变量依次与其余物理量组成π项，即11132141cbaqqqq22232152cbaqqqq……3333213nnncbannqqqq（4）满足π为无量纲项，定出上面各项中基本量的指数ai,bi,ci（5）整理方程式选择基本变量的原则：1）基本变量与基本量纲相对应。即若各物理量中基本量纲（M，L，T）出现三个，那么基本变量也选三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量只须选择两个。2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。应用范围：对相关物理量个数n没有限制，应用更为普遍。例1用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式0。已知0与液体的密度，液体的动力沾滞系数，圆管直径D，管壁材料的粗糙度以及管中断面平均流速有关。解f（D、v、、0、、）=0从各独立影响因素中选取D（几何量）、（运动量）、（动力量）为基本量建立（6~3）项：3332221113201,,cbacbacbavDvDvD对1：111c-3b-1a-2-1][ML][LT[L]]T[ML201111111111201:2:31:cbacMbTcbaL同理求得DvD3Re12,将各代入得2800)(Re120DF),(Re120Df整理得8Re1),(Df令，则例题2：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速v，管径D，重力g，动力粘度，管壁粗糙高度和密度。试用定理分析确定方程的一般形式。解：0),,,,,,(gdfLhf取v，d，为基本变量，则的个数n-m=7-3=4111/1cbafdLh2222cbad3333cbad4444cbadg进行量纲分析，则有a1=0，b1=0，c1=0a2=1，b2=1，c2=1a3=0，b3=1，c3=0a4=2，b4=-1，c4=0Lhf/1eRd12d324gd即0),Re,,(2gddLfhF解得：),(Re,21gddLhFf例3：薄壁圆形孔口出流公式的推导有一水箱，侧壁开有圆形薄壁孔口，已知收缩断面上断面平均流速与孔口水头H、孔径d，重力加速度g，水的密度，水的粘滞系数和表面张力系数等因数有关，试通过量纲分析推求流速的计算公式。cc解：由已知条件可将孔口收缩断面上平均流速公式写成下面的一般函数式：今选择H、、g三个物理量作为基本物理量，则该式可以用4个无量纲数组成的关系式来表达。这些无量纲数（π）为：）、、、、、dgHfc(666555444654zyxzyxzyxzyxcgHgHgHdgH其中：均为无量纲数则用[L]、[T]、[F]来表示，＝1321654、、、zyxcgH][][][][zyxTLLTFLTL]/[]/[][]/[242zyyyzxTFL224][][][zyTyzxLyF221410来说对来说对来说对解方程组得代入式中可得21021zyxgHc同理可得可得可得444][][][][zyxgHdHd4555][][][][zyxgHgHH5666][][][][zyxgH26)(/gHH)111(654、、、、、f即令于是))(/,,(2gHHgHHHdfgHc))(/,,(212gHHgHHHdfgHc2采用模型试验和理论分析相结合的方式是解决问题的有效途径之一，在把模型中的实测资料引用到原型中产生下述问题：(1)如何设计模型才能是模型和原型中的流动相似？(2)如何把模型中观测的流动现象和数据换算到原型中去？相似原理提供了解决这两个问题的理论基础。第三节相似原理不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与相关物理量的关系。[例4]粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤解：1．列举物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7个),,,,,(ldVp2．选择基本量：ρ、V、d3．列П表达式求解П数①П1=ρaVbdcΔpM0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–2)02:013:01:bTcbaLaM解得：a=-1,b=-2,c=01212pΠEuρV（欧拉数，1/2是人为加上去的）②П2=ρabbccμM0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–1)01:013:01:bTcbaLaM解得：a=b=c=-1Re12Vd(雷诺数)③П3=ρaVbdcεM0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLcL解得：a=b=0，c=-1d3（相对粗糙度）④П4=ρaVbdcl(同上)dl4（几何比数）4．列П数方程),(4,321f),(Re,212dldfVp即),(Re,212dldfVp或不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。[例6]三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较2．选择基本量：ρ、g、h3．列П表达式求解П数解：1．列举物理量。Q,ρ，g，h，共5个),,,(hgQ①Qhgcba1M0L0T0=(ML–3)a(LT–2)bLc(L3T–1)012:033:0:bTcbaLaM解得：a=0,b=-1/2,c=-5/22/12/51ghQ4．列П数方程П1=f(П2))(2/12/5fghQ②（弧度，无量纲）2或讨论：①结果表明Q与ρ无关，与h成5/2次方关系。与例B4.3.3中的解析式一致，解析式为2/5)(2158hfgQ②对一孔口角已确定的三角堰，(c)式已明确地表达了Q与h的理论关系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。由实验确定)(f2/5)(hgfQ(c)一、流动相似原型(Prototype)：天然水流和实际建筑物称为原型。模型(Model)：通常把原型（工程实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。关键问题：使模型水流和原型水流保持流动相似。流动相似：若两个流动的对应点上的同名物理量（如速度、压强及各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。模型和原型保证流动相似，应满足：•几何相似•运动相似•动力相似•初始条件和边界条件相似1.几何相似（geometricsimilarity）指原型和模型两个流场的几何形状相似，即对应的线段长度成比例、夹角相等。以脚标p表示原型、m表示模型，则有22112211,mpmplmpmpmpllllllmplll长度比尺222lmpmpAllAA面积比尺333lmpmpVllVV体积比尺2.运动相似（kinematicsimilarity）指原型和模型流体运动的速度场相似，即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小具有同一比值。tlpmmpmmppvmpmpttlltltlvvuu//速度比尺2//tltvpmmpmmppmpattvvtvtvaa加速度比尺3.动力相似（dynamicsimilarity）指原型和模型流动相应点处质点受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。分别以符号T、G、P、Tw和I代表影响流体运动的作用力，如粘滞力、重力、压力、表面张力和惯性力，则有mpmpmpmpfIIPPGGTT力的比尺IESTG4.初始条件和边界条件相似边界条件相似指两个流动相应边界性质相同，如原型中有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面；原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。对于非恒定流动，还要满足初始条件相似；而对于恒定流动，无需初始条件相似。流动相似的进一步解释：边界