论文(任意相对速度方向下的洛伦兹变换)

任意相对速度方向下的洛伦兹变换李思农恩平市职业技术教育中心摘要：凡是提到相对论，都会只使用一种特殊的相对运动：相对运动方向沿x轴。这种情况最简单，却也容易引起歧义。所以本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换以供读者参考、使用。在许多文献和参考书中，都提到了两个作相对运动的惯性系，几乎全部都选取了一个特殊的情况：相对速度v的方向与两坐标系的x轴方相同（如图1）。这种情况下的洛伦兹变换关系是最简单的。尽管有简单的好处，但是在一般情况下，或者在讲到四维动量、四维力时，相对速度方向仅与x轴方向相同就显得不太够了，它展示出来的物理图象过于“特殊情况”或者不完整，容易引起很多歧义。所以本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换（如图2），以供读者参考、使用。图1：两个惯性系之间相对速度方向与x轴方向相同，相对速度为v。图2：两惯性系之间的相对速度方向是任意方向。一、相对速度如图2显示，相对速度方向是任意的，我们先分析一下相对速度。如图3，蓝色为相对速度矢量v。红色为坐标轴上的相对分量1v、2v、3v。我们采用逆变矢量方式：符号的指标写在上面，并不是表示次方的意思。绿色表示在yx平面上的速度分量矢量和2211vvvv+。图3：蓝色是相对速度矢量，红色是其在坐标轴上的分量，绿色是yx平面上的速度分量矢量和2211vvvv+。很明显最终的转换公式中，这些分量全部都会出现，我们约定凡是两个相同量相乘的连续写出两次，例如：22vv表示两个2v相乘，并不是四个v相乘，我们不再使用指数。根据很简单的三角函数，我们可以得到关系：22111cosvvvvv+=α、22112sinvvvvv+=α、vvvvv2211cos+=β、vv3sin=β、332211vvvvvvvv++=。二、坐标系的旋转对于任意相对运动速度方向的情况，我们先将坐标系进行旋转，变成图1的情况，然后利用简单的洛伦兹变换推出一般情况下的洛伦图3兹变换。这种旋转分两步进行。会得到三个坐标系，我们分别用红、绿、蓝三种颜色来表示（如图3）。从红色坐标系R(red)开始，先是绕z轴旋转α角，得到绿色坐标系G(green)。再绕绿色坐标系的y轴旋转β角，得到蓝色坐标系B(blue)。这个蓝色坐标系的x轴沿着相对运动速度的方向。这里会有两套这种坐标，我们约定第一套的R、G、B坐标分别为Rzyxct),,,(、Gzyxct),,,(、Bzyxct),,,(。第二套的R′、G′、B′坐标分别为Rzyxtc′′′′′),,,(、Gzyxtc′′′′′),,,(、Bzyxtc′′′′′),,,(。两套坐标系间相对速度为v根据几何，可以得到坐标旋转关系为：绿色坐标系G与红色坐标系R转换关系为RGzyxzyx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛1000cossin0sincosαααα蓝色坐标系B与绿色坐标系G转换关系为GBzyxzyx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ββββcos0sin010sin0cos那么蓝色坐标系B与红色坐标系R转换关系为RBzyxzyx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛1000cossin0sincoscos0sin010sin0cosααααββββRzyx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=βαβαβααβαβαβcossinsincossin0cossinsinsincoscoscos接下来求这个变换关系的逆。红色坐标系R与绿色坐标系G转换关系为GRzyxzyx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛1000cossin0sincosαααα绿色坐标系G与蓝色坐标系B转换关系为BGzyxzyx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ββββcos0sin010sin0cos那么红色坐标系R与蓝色坐标系B转换关系为BRzyxzyx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ββββααααcos0sin010sin0cos1000cossin0sincosBzyx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=βββααβαβααβαcos0sinsinsincoscossinsincossincoscos三、任意相对速度方向下的洛伦兹转换关系通过上面的准备，现在可以进入转换关系的求解。大致过程如下，先从红色坐标系R开始，转换成蓝色坐标系B，通过简单洛伦兹转换变成蓝色坐标系B′，再通过逆转换变回红色坐标系R′。BRzyxctzyxct⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛βββααβαβααβαcos0sin0sinsincoscossin0sincossincoscos00001BBzyxtccvcvzyxct′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛100001000000γγγγRBzyxtczyxtc′′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′βαβαβααβαβαβcossinsincossin00cossin0sinsincoscoscos00001上式中211cvv−=γ。逐个代入，得到结果：RRzyxtcvvvvvvvvvvvvcvvvvvvvvvvvvvcvvvvvvvvvvvvvcvcvcvcvzyxct′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+−−−−+−−−−+=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1333231332222123121111321γγγγγγγγγγγγγγγγ同样手法，可以得到其逆变换RRzyxctvvvvvvvvvvvvcvvvvvvvvvvvvvcvvvvvvvvvvvvvcvcvcvcvzyxtc⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+−−−−−+−−−−−+−−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′′)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1333231332222123121111321γγγγγγγγγγγγγγγγ四、另一相关使用惯例由于使用习惯不同，有些习惯将时间坐标放入一虚指标i（1−=⋅ii）。两套坐标变为，第一套的R、G、B坐标分别为Rzyxict),,,(、Gzyxict),,,(、Bzyxict),,,(。第二套的R′、G′、B′坐标分别为Rzyxtic′′′′′),,,(、Gzyxtic′′′′′),,,(、Bzyxtic′′′′′),,,(。两套坐标系间相对速度为v。相比起之前的推导，它所造成的区别在于简单洛伦兹变换公式不同，而对空间坐标旋转关系没有任何影响。BRzyxictzyxict⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛βββααβαβααβαcos0sin0sinsincoscossin0sincossincoscos00001BBzyxticcvicvizyxict′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛100001000000γγγγRBzyxticzyxtic′′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′βαβαβααβαβαβcossinsincossin00cossin0sinsincoscoscos00001结合在一起得结果RRzyxticvvvvvvvvvvvvcvivvvvvvvvvvvvcvivvvvvvvvvvvvcvicvicvicvizyxict′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+−−−−−+−−−−−+−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1333231332222123121111321γγγγγγγγγγγγγγγγ其逆为RRzyxictvvvvvvvvvvvvcvivvvvvvvvvvvvcvivvvvvvvvvvvvcvicvicvicvizyxtic⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+−−−−+−−−−+−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′′)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1333231332222123121111321γγγγγγγγγγγγγγγγ五、总结至此，我们得到了任意速度下的洛伦兹变换公式：RRzyxtcvvvvvvvvvvvvcvvvvvvvvvvvvvcvvvvvvvvvvvvvcvcvcvcvzyxct′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+−−−−+−−−−+=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1333231332222123121111321γγγγγγγγγγγγγγγγ其逆为RRzyxctvvvvvvvvvvvvcvvvvvvvvvvvvvcvvvvvvvvvvvvvcvcvcvcvzyxtc⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+−−−−−+−−−−−+−−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′′)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1333231332222123121111321γγγγγγγγγγγγγγγγ这两个公式在研究四维力、四维动量、电磁场的描述中将非常有用。而且只需将速度的第二与第三分量设为零，很容易转变为相对速度沿x轴的简单情况。至于加入虚指标的情形，RRzyxticvvvvvvvvvvvvcvivvvvvvvvvvvvcvivvvvvvvvvvvvcvicvicvicvizyxict′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+−−−−−+−−−−−+−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1333231332222123121111321γγγγγγγγγγγγγγγγ其逆为RRzyxictvvvvvvvvvvvvcvivvvvvvvvvvvvcvivvvvvvvvvvvvcvicvicvicvizyxtic⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+−−−−+−−−−+−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛′′′′′)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1333231332222123121111321γγγγγγγγγγγγγγγγ由于逐渐被人们所淘汰，建议读者们不必过多使用。参考文献：[1]Afirstcourseingeneralrelativity,1985BSchutz[2]Lecturenotesongeneralrelativity,SeanM.Carroll[3]Gravitation,Misner,Thorne,Wheeler[4]Afundamentalexplanationforthetinyvalueofthecosmologicalconstant,Cl´audioNassif[5]Self-similarcosmologicalsolutionswithdarkenergy.I:formulationandasymptoticanalysis,TomohiroHarada