二次函数与一元二次方程的关系

简阳市同合九义校彭绍兰要点回顾y=ax2+bx+c的图象和x轴交点方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac函数的图象有两个交点方程有两个不相等的实数根b2-4ac0只有一个交点方程有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点方程没有实数根b2-4ac0xyo..xyoxyo22对于二次函数y=ax+bx+c(a0),当y=0时,函数即可化为一元二次方程ax+bx+c=0,这时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标.简单运用答案：（1）A（-1，0），B（4，0）；（2）x=-1或4；（3）x=-1或4；（4）方程的解就是二次函数的交点的横坐标。22222,y=x-3x-4,:(1)xABA(,),B(,).(2)x=(),y=x-3x-4y=0.(3)x-3x-4=0.(4)x-3x-4=0y=x-3x-4?如图的图象回答问题二次函数的图象与轴的交点、的坐标分别是当时函数的值求方程的解方程的解与二次函数的交点的横坐标之间有什么关系2y=x-3x-4变式训练22690,30xxxx观察下列图象，分别说出一元二次方程的根的情况。21226903.30.xxxxxx答案:方程的解是方程无实数根269xxy=23xxy=例题精析21:1.1mx(2)m.,.ymxxxm若函例已知二次数的图象与轴有交点求的取函数当为何值时，函数的图象轴有两个交点？(3)当函数的图象与x轴相切时,求的范围取值范围值:1(1);41(2)0;41(3).4mmmm答案且]x[由二次函数的图象与轴的交点的个数与其所对应的一元二次方程的根的个数的关系，来确定的取值范围,进而求出m的取值范围。(1)有两个交点0;(2)有交点0;(3)相切只有解析一个交点=0.小试牛刀答案：（1）△＞0，函数的图象与x轴有两个交点；（2）△＝0，函数的图象与x轴有一个交点；（3）△＜0，函数的图象与x轴没有交点。22.(1)(1)1ymxmx若函数的图象与x轴只有一个公共点,求m的值.22212:(1)1,(1)10,(1)4(1)01,3.10,1,3.mxxmxmmmmammm解析二次函数y=(m+1)x的图象与轴只有一个公共点方程(m+1)x有两个相等的实数根即解之得又的值为2221.,(1);(2)69;(3)3611.xyxxyxxyxx试判断下列各函数的图象与轴有没有公共点并说明理由。思维迁移22212222.(2010),23023,230,1,3.23::13230:13.xxxxxyxxxxxx例漳州阅读材料解答问题:例:用图象法解一元二次不等式x.解:设y=x则y是x的二次函数.a=10,抛物线开口向上.又当y=0时,x解得抛物线x的大致图象如图所示观察图象可知当或时,y0.x的解集是或(1)观察图象,直问题:接写出一22230;(2),10().x元二次不等式x的解集仿照上例用图象法解一元二次不等式x画大致图象即可223xy=x 1[]2本题要求通过对所给材料的阅读自学,运用二次函数图像的增减性（旧知识）来解决一元二次不等式（新知识）。问题（）据已知的图像就可得:x轴上方y0；x轴上y=0；x轴下方y0.问题（）需依照例子,画出图像，再据图像性解析质得出。2212212  11? xx解：（）-1x3．（）设y=x-1，则y是x的二次函数．a=10,抛物线开口向上．又当y=0时，x-1=0，解得x=-1,x=1．由此得抛物线的大致图象如图所示:观察函数图象可知：当x-1或时，x-1的解集是：x-1或．2y=x-1基础过关2221xA.3B.2C.1D.02.A.aB.c.D.abc0Cb．在平面直角坐标系中，抛物线y=2x-x-3与轴的交点的个数是()已知二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论正确的是()＞0＜0-4ac＜＞BD能力提升证明：∵△===又∵不论m为何值，∴＞0∴△＞0，∴无论m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.241(2)mm248mm2(2)4m2(2)0m2(2)4m24.2.:m,x.yxmxm已知抛物线求证无论取何值抛物线总与轴有两个交点5.已知二次函数的图像与X轴有两个不同的交点.（1）求k的取值范围（2）当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50.121267,.xxxxkk能力提升解：△=∵＞0∴k的取值为3628k解：解之得：k的取值为∴k的值为±1.222121212()250,xxxxxx267()2()50,kk3628k97k267ykxx1.k97k要点小结一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程。课后练习2221.6,(2,0),(3,0),?3.2.(1);(2)25,.4.,,,60(yxxaxapxqxpqyxkxkxxkxAByCOAOBO已知抛物线与轴有两个交点则的取值范围是多少?2.已知抛物线y=x与轴的两个交点为则、的值分别是多少已知二次函数判别上述抛物线与轴的交点情况设抛物线与轴交点之间的距离为求的值设二次函数的图象与轴交于两点与轴交点点线段与的长的积等于点是坐),.m标原点求的值简阳市同合九义校彭绍兰祝老师们工作顺心！祝同学们学心进步！