2014届高考数学一轮复习课件：第三章第4课时简单的三角恒等变换(新人教A版)

第4课时简单的三角恒等变换2014高考导航考纲展示备考指南能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.利用公式变换，进行三角函数式的化简是本课时考查的热点.2.常与实际应用问题、函数等结合命题.3.主要以解答题的形式进行考查.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理半角公式(1)用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2.(降幂公式)sin2α2＝_____________；cos2α2＝_____________；tan2α2＝______________．1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα(2)用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2.(半角公式不要求记忆)sinα2＝_________________；cosα2＝_________________；tanα2＝±1－cosα1＋cosα.(3)用sinα，cosα表示tanα2.(半角化单角)tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.±1－cosα2±1＋cosα2课前热身1．(教材习题改编)下列各式的值为14的是()A．2cos2π12－1B．1－2sin275°C.2tan22.5°1－tan222.5°D．sin15°cos15°答案：D2．已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2等于()A.63B．－63C.33D．－33解析：选B.∵cosα＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈π2，π，∴cosα2＝－1＋cosα2＝－1＋132＝－63.3.2sin235°－1cos10°－3sin10°的值为()A．1B．－1C.12D．－12解析：选D.原式＝2sin235°－1212cos10°－32sin10°＝－cos70°2sin20°＝－12.4．若sinπ2＋θ＝35，则cos2θ＝________.解析：∵sinπ2＋θ＝cosθ＝35，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×352－1＝－725.答案：－7255．已知点P(sin34π，cos34π)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan(θ＋π3)的值为________．解析：∵点P坐标为(22，－22)，∴θ为第四象限角，tanθ＝－1，∴tan(θ＋π3)＝tanθ＋31－3tanθ＝－1＋31＋3＝2－3.答案：2－3考点探究讲练互动例1考点突破考点1给角求值问题(1)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A．－12B.12C.32D．－32(2)sin50°(1＋3tan10°)的值为________．【答案】(1)B(2)1【解析】(1)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12，故选B.(2)∵sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝cos40°·2sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝1.【规律小结】给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．有时还可逆用、变形运用公式．跟踪训练1．计算：tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.答案：－4解析：原式＝sin12°－3cos12°2sin12°cos12°cos24°＝2sin12°－60°12sin48°＝－4.例2考点2给值求值问题已知α∈0，π2，β∈π2，π，cos2β＝－79，sin(α＋β)＝79.(1)求cosβ的值；(2)求sinα的值．【解】(1)∵cos2β＝1＋cos2β2＝1＋－792＝19，又∵β∈π2，π，∴cosβ＝－13.(2)由(1)知sinβ＝1－cos2β＝1－－132＝223.由α∈0，π2、β∈π2，π，得(α＋β)∈π2，3π2.cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1－792＝－429.sinα＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝79×－13－－429×223＝13.【思维升华】已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所求式子或所给条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．跟踪训练2．已知tan(π4＋α)＝2，tanβ＝12.(1)求tanα的值；(2)求sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β的值．解：(1)法一：由tan(π4＋α)＝2得，tanπ4＋tanα1－tanπ4tanα＝2，即1＋tanα1－tanα＝2，解得tanα＝13.法二：tanα＝tan[(π4＋α)－π4]＝tanπ4＋α－tanπ41＋tanπ4＋αtanπ4＝2－11＋2×1＝13.(2)由于sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝－sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝－sinα－βcosα－β＝－tan(α－β)，∴原式＝－tan(α－β)＝－tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－13－121＋13×12＝17.考点3给值求角问题已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．例3【解】(1)∵0απ2，tanα2＝12，∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝11－14＝43.∵sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝45.(2)∵0απ2βπ，∴0β－απ.∵cos(β－α)＝210，∴sin(β－α)＝7210.又cosα＝1－452＝35，∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝22.∵β∈(π2，π)，∴β＝3π4.【规律小结】已知三角函数值求角,一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；(3)根据角的范围写出所求的角．其中在第二步中，具体选用哪个三角函数，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数；若角范围是(0，π2)，正、余弦函数均可；若角范围是(0，π)时，一般选余弦函数；若角范围是(－π2，π2)时，则一般选正弦函数等．跟踪训练3．已知α、β为锐角，sinα＝35，cos(α＋β)＝－45，求2α＋β的值．解：∵sinα＝35，α∈(0，π2)．∴cosα＝45.∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35.∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝35×(－45)＋45×35＝0.又2α＋β∈(0，3π2)．∴2α＋β＝π.1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．方法感悟2．常用的三角恒等变换技巧(1)角变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角．(2)函数名称变换：观察比较题设与结论之间，等号两端函数名称差异，化异名为同名．(3)常数变换：如1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4，32＝sinπ3等．(4)次数变换：常用方式是升幂或降幂，主要是二倍角余弦公式及其逆向使用．名师讲坛精彩呈现例(本题满分12分)已知函数f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝3210，求sin2α的值．规范解答三角函数恒等变换综合题【解】(1)由已知，f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12＝12(1＋cosx)－12sinx－12＝22cosx＋π4，4分所以f(x)的最小正周期为2π，值域为－22，22.6分(2)由(1)知，f(α)＝22cosα＋π4＝3210，所以cosα＋π4＝35.8分所以sin2α＝－cosπ2＋2α＝－cos2α＋π4＝1－2cos2α＋π4＝1－1825＝725.12分12抓关键促规范这是本题的关键一步，也是一大得分点．这是本题的一个难点．12【方法提炼】解答此类问题关键在于正确的恒等变换，变换时要注意条件与结论的联系，同时还应注重解题的灵活性，有时根据已知条件通过适当的拆角、凑角，在广义理解和、差、倍角公式的基础上解题．知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放