2014届高考数学一轮复习课件：第十章第3课时二项式定理(新人教A版)

第3课时二项式定理2014高考导航考纲展示备考指南1.能用计数原理证明二项式定理．2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.从高考内容上看，求二项展开式中某项的系数及特定项(常数项、有理项、中间项)是命题的热点，题型多为选择题和填空题，一般为容易题．注重运算能力的考查，同时注意知识交汇处的命题.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的_____________．其中的系数Ckn(k＝0,1,2，…，n)叫二项式系数．式中的Cknan－kbk叫二项展开式的______，用Tk＋1表示，即通项Tk＋1＝Cknan－kbk.二项展开式通项2．二项展开式形式上的特点(1)项数为_______.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为_____.(3)字母a按______排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按______排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从____，C1n，一直到Cn－1n，____.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数_____，即____________.n＋1n降幂升幂相等C0nCnnCmn＝Cn－mn(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当kn＋12时，二项式系数逐渐______．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项Cn2n取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn－12n，Cn+12n取得最大值．(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝____；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝______.增大2n2n－1课前热身1．(1－x)4(1＋x)4的展开式中x的系数是()A．－4B．－3C．3D．4答案：A2.12x2－2x310的展开式中的常数项是()A．210B.1052C.14D．－105解析：选B.Tr＋1＝Cr10(－2x3)r12x210－r＝Cr10(－2)r1210－rx3r－20＋2r，令3r－20＋2r＝0，得r＝4，所以常数项为T5＝C410(－2)41210－4＝1052.3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．6解析：选B.令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，∴a0＋a2＋a4＝8.4．(2012·高考广东卷)x2＋1x6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)解析：设第r＋1项为含x3的项，则Tr＋1＝Cr6x2(6－r)x－r＝Cr6x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴x3的系数为C36＝20.答案：205．(2012·高考福建卷)(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝__________.答案：2解析：(a＋x)4的展开式中的通项Tr＋1＝Cr4a4－rxr，当r＝3时，有C34·a＝8，所以a＝2.考点探究讲练互动例1考点突破考点1二项展开式中的特定项或特定项的系数(1)已知f(x)＝(ax＋2)6，f′(x)是f(x)的导数，若f′(x)的展开式中x的系数大于f(x)的展开式中x的系数，则a的取值范围是()A．a＞25或a＜0B．0＜a＜25C．a＞25D．a＞52或a＜0(2)(2012·高考湖南卷)2x－1x6的二项展开式中的常数项为__________．(用数字作答)【答案】(1)A(2)－160【解析】(1)f(x)的展开式中x的系数是C5625a6－5＝192a，f′(x)＝6(ax＋2)5·(ax＋2)′＝6a(ax＋2)5，f′(x)的展开式中x的系数是6aC4524a5－4＝480a2，依题意得480a2＞192a⇒a＞25或a＜0，故选A.(2)∵2x－1x6＝2x－1x6＝2x－16x3，又∵(2x－1)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－1)r，令6－r＝3，得r＝3，∴T3＋1＝－C36(2x)3＝－20×23·x3＝－160x3.∴2x－1x6的二项展开式中的常数项为－160.【题后感悟】求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．跟踪训练1．(1)(2013·福州市质量检测)在(1＋x)2－(1＋3x)4的展开式中，x的系数等于________；(用数字作答)(2)(2012·高考大纲全国卷)若x＋1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．答案：(1)－3(2)56解析：(1)因为(1＋x)2的展开式中x的系数为1，(1＋3x)4的展开式中x的系数为C34＝4，所以在(1＋x)2－(1＋3x)4的展开式中，x的系数等于－3.(2)由题意知，C2n＝C6n，∴n＝8.∴Tr＋1＝Cr8·x8－r·1xr＝Cr8·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴1x2的系数为C58＝C38＝56.例2考点2二项式系数的性质在二项式(2x－3y)9的展开式中，(1)求各项的系数之和；(2)求奇数项系数之和．【解】(1)∵(2x－3y)9＝C09(2x)9＋C19(2x)8·(－3y)＋C29(2x)7·(－3y)2＋…＋C99(－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9，令x＝1，y＝1，∴各项的系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(－1)9＝－1.(2)令x＝1，y＝－1，a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59，∵a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，∴a0＋a2＋…＋a8＝59－12.∴奇数项系数之和为59－12.【规律小结】(1)二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.跟踪训练2．本例条件不变，求展开式中各项系数的绝对值之和．解：∵(2x－3y)9的展开式中a0，a2，a4，a6，a8大于零，而a1，a3，a5，a7，a9小于零，∴|a0|＋|a1|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9.由例题可知，|a0|＋|a1|＋…＋|a9|＝59，即各项系数的绝对值之和为59.考点3二项式定理的综合应用(2012·高考湖北卷)设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12【答案】D【解析】512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012522012－C12012522011＋…＋C20112012×52×(－1)2011＋C20122012×(－1)2012＋a.因为52能被13整除，所以只需C20122012×(－1)2012＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.例3【规律小结】(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的范围．跟踪训练3．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解：0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)1＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6.因为T3＝C26(－0.002)2＝15×(－0.002)2＝0.000060.001，且第3项以后的绝对值都小于0.001，所以从第3项起，以后的项都可以忽略不计．所以0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝1－0.012＝0.988.方法感悟1．二项式定理应注意的问题(1)Tk＋1表示的是第k＋1项，而非第k项．(2)在(a＋b)n的展开式中Tk＋1中k的范围是0≤k≤n.(3)在(a＋b)n，x＋1xn的展开式中各项的二项式系数与系数相等；在(a－b)n，x－1xn的展开式中各项的二项式系数与系数的绝对值相等．2．应用二项式定理的两种思路二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．名师讲坛精彩呈现例难题易解求解二项展开式的系数(2012·高考浙江卷)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0,a1，a2,…，a5为实数，则a3＝______________.抓信息破难点解答本题的关键是把x看作[(1＋x)－1]的形式，要求a3的值,只需利用通项公式求解即可．【解析】f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝Cr5(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C25(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.【答案】10【方法提炼】解决该题的难点是把x5通过变形转化为关于x＋1的二项式，然后利用展开式的通项公式便可求得．跟踪训练4．若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，则a1的值为()A．80B．40C．20D．10解析：选A.由于x＋1＝x－1＋2.因此(x＋1)5＝[(x－1)＋2]5，故展开式中x－1的系数为C4524＝80.故选A.知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放