2013-第4版姜启源数学模型复习总结

第四版姜启源数学模型复习总结第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。建模的一般方法及其在建模中的应用。建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。建模的全过程（框图）4个环节的含义。模型的特点（技艺性）。模型分类（表现特征），建模中的能力培养。数学建模实例的建模思想及其步骤§1数学模型的概念：模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。§2建模的重要意义（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。§3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位置用角度，放平问题转化为连续函数的零点问题（连续函数的零点定理）矩形椅子问题：（1）用表示椅子对角线AC与x轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是的连续函数。设相邻的,AB两点到地面的的距离之和为()f，,CD两点到地面的距离之和为()g，令()()()hfg，则()h是的连续函数。（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设0时，(0)0,g(0)0f，(0)(0)(0)0hfg。（3）将椅子旋转，则,AB旋转到原来,CD的位置，,CD旋转到,AB的位置，即AB与CD的位置互换，因此有()(0)0,()f(0)0fgg，因此()()()g(0)f(0)0hfg，即连续函数()h在[0,]两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点*使*()0h,即**()()fg。因为**(),()fg至少有一个为零，因此**()()0fg，即*对应的位置就是椅子能放稳的位置。实例2-商人过河问题：属于多步决策问题，即动态规划问题。多步决策问题（确定多步的决策改变系统的状态）的三要素：状态，决策，状态转移方程（状态在决策下的转移律）。实例3-施救问题。药物排除过程-指数衰减方程：0,(0)dxxxxdt，分离变量，积分得到，解0()txtxe。吸收-排除过程的方程：,(0)0dyxyydt。求解过程：凑微分（完全积分法）()00,()tttdydyxeeyxedtdt积分得到()0(t)y(0)[1]ttxeye，因此00()(0)[][]tttttxxyteyeeee习题：对于给定的,确定()yt的最大值与0x之间的关系。关键是求最大值点*t，满足*|0tdydt，此时**0()txyte。半衰期确定衰减系数：***00()/2,ln2/txtxext实例3-人口模型：指数模型0)0(,xxrxdtdx，其解rtextx0)(，假设条件：人口相对增长率为常数。（指数增长，指数衰减）阻滞增长模型（logistic模型）)1(Nxrxdtdx，求解步骤：分离变量，裂项，积分，其解为rtexNNtx)1(1)(0，曲线为S曲线。§6建模方法与步骤基本方法：机理分析与测试分析（统计分析）机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律测试分析（统计分析）：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。在建模中的应用：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。能将道理讲道理，讲不清道理讲数据。建模步骤：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索相关信息，把握对象特征，形成一个较为“清晰”的问题。模型假设：分析影响因素，分析设置变量，假设变量之间的关系，要在合理（保真）和简化（可行）之间折中，是数学建模艺术之所在。模型构成：用数学语言，符号描述问题（特有规律的数学表示）。尽量采用简单的数学工具。模型求解：数学方法，软件和计算机求解析解，近似解或数值解。模型分析：对结果进行误差分析，统计分析，敏感性分析，对算法和数据进行稳定性分析，对模型进行稳健性分析。模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性。模型应用：把数学模型的结果翻译回原问题，解决实际问题。建模的全过程（四个环节，两个世界，双向翻译）掌握框图：四个环节：表述（Formulation)-根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题求解（Solution)-选择适当的数学方法求得数学模型的解答.解释（Interpretation)-将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.验证（Verification)-用现实对象的信息检验得到的解答.§7数学模型的特点与分类特点：逼真性与可行性（建模的两个重要方面，要折中兼顾，反映建模艺术）；渐进性-渐进不断改进的迭代过程；强健性（稳健性）-模型对假设条件的敏感性；可转移性-模型结构可借鉴可移植（数学建模ABC）；模型的技艺性（与其说是一门技术，不如说是一门艺术）；模型的局限性（认识，手段）。分类：应用领域，方法，表现形态，建模目的，了解程度。所用的数学方法分：初等模型，连续优化模型，离散优化模型，微分方程模型，代数方程与差分方程模型，稳定性（平衡点）模型，离散模型（层次分析模型，图模型），概率模型，统计回归模型，博弈模型，马氏链模型，动态优化模型。按表现形态（特征）分为：确定的还是随机的，静态的还是动态的，离散的还是连续的，线性的还是非线性的。了解程度分为：白箱，灰箱，黑箱。§8。建模能力培养：想象力，洞察力，判断力。类比和悟性，实践性。习题：4.正方形椅子问题：如何转化为连续函数的零点存在性问题：位置，函数，转动角度。5.多步决策问题-三要素6.施救问题：模型0,(0),,(0)0dxdyxxxxyydtdt，求解00()(0)[][]tttttxxyteyeeee最大值点满足*|0ttdydt，**0()txyte第2章：初等模型§1光盘的数据容量CLV光盘：CLVCLVCL，近似计算螺旋线长度：同心圆周长，环形区域面积计算2221()CLVRRLd,平均周长近似2121().2CLVRRRRLd。CAV光盘：取决于最里圈的密度，等效长度为2112RRRd。对于给定的2R，求1R使容量最大。21122(1)RRRdR，1212RR。§2双层玻璃模型建模。掌握分析变量关系和建立模型的方法，了解热传导关系表示。单层和双层的热量dTTkQ22112，dTTklTTkdTTkQbbaa212111，).2(212111kkdldTTkQsQQ2221，取16/21kk，得到hQQ81121。§3划艇比赛成绩建模：掌握比例关系建模方法,,2svffvnp，3/13/12/1nAs，33/1vn，得到9/1nv，进而得到9/1nt。§4实物交换：掌握交换方案的确定方法。无差别曲线（族）（在其上满意度相同，或效用函数值相同，效用函数等值性）。无差别曲线的特征：单调减，下凸的交换路径：甲乙两族无差别曲线族的切点构成交换路径。交换方案确定：交换路径和等价交换线（价值等值线）的交点即为交换方案。§2.5均流池设计1。恒定流出量和最大容量。恒定流出量等于平均流量。最大容量计算，计算各时间的容量（初值值未定，取为零），考虑最大-最小即当容量。最优设计问题：成本最小设计（等式约束优化问题）(,)340250(2)450,s.t.lw372Slwlwlww求解（消元法，乘子法）§2.6交通流模型（1）交通流的基本参数及其特征：流量q，流速v，密度k，qkv。速度和流量模型：(1/),(1/),(1/)fjfjjfvvkkqvkkkqkvvv对数模型ln(/)fjvvkk，二者之间的联系。（2）§2.9天气预报的评价给出4种预报方法有雨概率和实际观测结果（有雨1,kv，无雨0kv），评价优劣（1）计数模型-把概率进行0,1处理，计算准确率，该方法未考虑具体的概率值。（2）计分模型-考虑对预报概率进行赋分：（1）0.5,10.5,0kkkkkpvspv，（2）||kkkspv，（3）2()kkkspv习题：1.比例关系方法推导2.无差别曲线的含义，协议线，7。大包装问题：总成本构成：生产成本正比于重量，包装成本正比于2/3w，固定成本。单价表示()cw，分析单价的性质，一阶导数和二阶导数性质。8.鱼重量模型，建模，根据数据确定参数。第3章连续优化模型§1存储模型。掌握推导不允许缺货情况下的订货模型并求解；推导增加购买货款情况下的建模求解问题（习题1）；建立允许缺货情况的订货模型；建立生产销售存储模型（习题2）。不容许缺货的存储模型：订货费和存储费，每天的费用22)(2121rTcTcTQTcTcTc，求解得到rccT21*2，21*2crcQ允许缺货的存贮模型：订货费+贮存费+缺货费，订货周期T，订货量Q的二元函数：画图表示：开始缺货时间rQT/1，总费用rQrTcrQccTTrcQTccC23221213121)(22)(2平均每天的费用rTQrTCrTQcTcQTC23221)(2),(求导得到：332*'*',/,cccQQTT。3c相当于容许缺货。§2最优生猪出售时间模型：掌握利润建模优化方法，掌握求解对参数的敏感性系数方法（敏感性分析方法）。利润表示)()()()(tctwtptQ最优时间*t满足：)()()()()(*'*'***'tctwtptwtp，利润最优性条件：边际收入=边际支出。),(**rgtt依赖于参数，相对敏感度系数（弹性系数，百分比）gdgtdttgdgdtgtS/)(/)(),(****，含义：g变化1%，则*t相应变换)%,(*gtS。符号表示变换趋势。§3建立救火模型并求解，并对模型假设进行分析和推广。画图表示dttdB)(对t变化图，1t为开始救火时刻，2t为火灭时刻，损失费和救援费：xtttxttt112121,xcxtxcxttcxc312212211])(22[)(求解0dxdc得到231221122ctctcx§6消费者的选择。理解均衡消费问题的含义，建立均衡消费模型，推导均衡消费条件，掌握效用函数的基本特征。要点：均衡消费问题-偏爱程度用无差别曲线（效用函数等值线）表示。已知甲乙价格21,pp,有钱s，试分配s,购买甲乙数量21,qq,使),(21qqU最大.其模型为具有等式约束的最大值问题sqpqptsqqU221121..),(max。求解约束最大值问题的Lagrange乘子法步骤：（1）构造L函数：)(),(),,(22112121sqpqpqqUqqL（2）求L的无约束极值问题。均衡消费条件2121//ppqUqU-边际效用之比等于价格之比。应用：给定效用函数求费用之比2211qpqp。习题4：（1）效用函数等值线即为无差别曲线，单调减，下凸的。（2）验证效用函数一、二阶导数条件；（3）求消费比例。效用函数的基本特征（一阶条件和二阶条件）：（B)0,0,0,0,021222221221