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第三章勾股定理单元测试一、单选题（共10题；共30分）1.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A.3B.2+2C.10D.42.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A.16B.17C.18D.193.如图，在长、宽都为3cm，高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B处去觅食，那么它所行的最短路线的长是（）A.（32+8）cmB.10cmC.82cmD.无法确定4.要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物3m，顶端离地面4m，则梯子的长度为（）A.2mB.3mC.4mD.5m5.若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2-6a+9+|b﹣4|=0，则该直角三角形的第三边长为（）A.5B.7C.4D.5或76.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（）A.0.6米B.0.7米C.0.8米D.0.9米7.一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（）A、4B、C、4或D、28.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A.100cmB.50cmC.140cmD.80cm9.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）A、3cm2B、4cm2C、5cm2D、6cm210.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于________．二、填空题（共8题；共24分）11.若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为________12.一根旗杆在离底部4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为________13.如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64厘米2，则x的长为________厘米．14.一个直角三角形，两直角边长分别为3和2，则三角形的周长为________．15.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=________．16.已知在三角形ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20，则AB的长等于________．17.如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是10，B的面积是11，C的面积是13，则D的面积之为________．18.如图，Rt△ABC中，分别以它的三边为边长向外作三个正方形．S1，S2，S3分别为三个正方形的面积，若S1=36，S2=64，则S3=________．三、解答题（共5题；共35分）19.如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？20.如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？21.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（结果保留根号）22.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，BC=2，CD=1，求AD的长．23.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=4，求BD的长．四、综合题（共1题；共10分）24.一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？答案解析一、单选题1、【答案】C【考点】平面展开-最短路径问题【解析】【解答】解：如图，AB=．故选C．【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．2、【答案】B【考点】勾股定理【解析】【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°=BCAC=22，即AC=2BC，同理可得：BC=CE=2CD，∴AC=2BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD=63=2，∴EC2=22+22，即EC=22；∴S1的面积为EC2=22×22=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=2BC，BC=CE=2CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=22；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．3、【答案】B【考点】平面展开-最短路径问题【解析】【解答】解：将点A和点B所在的两个面展开，①矩形的长和宽分别为6cm和8cm，故矩形对角线长AB=62+82=10cm；②矩形的长和宽分别为3cm和11，故矩形对角线长AB=32+112=130cm．即蚂蚁所行的最短路线长是10cm．故选B．【分析】根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．4、【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：根据题意，画出图形，AB=4m，BC=3m，AC为梯子的长度，可知△BAC为Rt△，有AC=AB2+BC2=42+32=5（m）．故选：D．【分析】如下图所示，AB=4m，BC为梯子底端到建筑物的距离，有BC=3m，AC为梯子的长度，可知△ABC为Rt△，利用勾股定理即可得出AC的长度．5、【答案】D【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵a2-6a+9+|b﹣4|=0，∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，∴a=3，b=4，∴直角三角形的第三边长=42+32=5，或直角三角形的第三边长=42-32=7，∴直角三角形的第三边长为5或7，故选D．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．6、【答案】C【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，首先根据勾股定理求得AC=2.4，则A′C=2.4﹣0.4=2，在直角三角形A′B′C中，根据勾股定理求得B′C=1.5，所以B′B=1.5﹣0.7=0.8，故选C．【分析】在本题中，运用两次勾股定理，即分别求出AC和B′C，求二者之差即可解答．7、【答案】C【考点】勾股定理【解析】【解答】解：①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是4；②当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是=．故选C．【分析】因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论．8、【答案】A【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，∵正北方向和正东方向构成直角，∴由勾股定理得602+802=100，∴其距离为100cm．故选A．【分析】由已知两只鼹鼠打洞的方向的夹角为直角，其10分钟内走路程分别等于两直角边的长，利用勾股定理可求斜边即其距离．9、【答案】C【考点】勾股定理【解析】【解答】解：由勾股定理得：=5（cm），∴阴影部分的面积=5×1=5（cm2）；故选：C．【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．10、【答案】2π【考点】勾股定理【解析】【解答】解：S1=π（）2=πAC2，S2=πBC2，所以S1+S2=π（AC2+BC2）=πAB2=2π．故答案为：2π．【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．二、填空题11、【答案】和3【考点】勾股定理【解析】【解答】解：当4和5都是直角边时，则第三边是=；当5是斜边时，则第三边是3．故答案为：和3．【分析】考虑两种情况：4和5都是直角边或5是斜边．根据勾股定理进行求解．12、【答案】12米【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾股定理得，AB=4.52+62=7.5（米）．故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．故答案是：12米．【分析】旗杆折断后刚好构成一直角三角形，其直角边分别是4.5米和6米．利用勾股定理解题即可．13、【答案】17【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵正方形的面积为64厘米2，∴正方形的边长为8厘米，x=152+82=17（厘米），故答案为：17．【分析】首先计算出正方形的边长，再利用勾股定理计算出x即可．14、【答案】5+【考点】勾股定理【解析】【解答】解：根据勾股定理可知：斜边==，∴三角形周长=3+2+=5+．故答案是：5+．【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，继而即可求出三角形的周长．15、【答案】12【考点】勾股定理的证明【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=KG，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF•NF，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF=3GF2=12，故答案是：12．【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12．16、【答案】25【考点】勾股定理【解析】【解答】解：如图，∵△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20，∴AB===25．故答案为：25．【分析】根据题意画出图形，再由勾股定理求解即可．17、【答案】30【考点】勾股定理【解析】【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．根据勾股定理得到：C与D的面积的和是P的面积；A与B的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．即A、B、C、D的面积之和为M的面积．∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，是正方形D的面积为x，∴10+11+13+x=64，∴x=30故答案为：30．【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．18、【答案】100【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，又由正方形面积公式得S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，∴S3=S1+S2=100．故答案为：100．【分析】由正方形的面积公式可知S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3，由此可求S3．三、解答题19、【答案】解：（1）如图所示，∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，∴AD=12cm，∴AB=AD2+BD2=122+122=122（cm）．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长