伽马函数在概率统计中的应用

韩山师范学院学生毕业论文（2011届）韩山师范学院教务处制题目（中文）伽马函数在概率统计中的应用（英文）TheApplicationoftheΓ–FunctionintheProbability系别：数学与信息技术系专业：数学与应用数学班级：20071112姓名：史泽龙学号:2007111205指导教师：屈海东讲师诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要:本文阐述了Γ函数的定义及其特殊性质,并就如何利用Γ函数的特定性质解决概率应用中的一些特定问题进行了探讨和分析.分析说明:应用Γ函数收敛的性质,可间接求解概率积分值;利用Γ函数表示分布的密度;可表征F分布的密度函数.这些分析及其结论对于函数的具体应用,对于求解概率论中的一些具体实用问题具有重要的参考价值.关键词:Γ函数;收敛性;概率积分;密度函数Abstract:ExpoundsthedefinitionofΓfunctionanditsspecialproperties,andhowtousethespecificnaturesolutionΓfunctioninsomespecificquestionstheprobabilityapplicationisdiscussedandanalyzed.Γfunctionanalysisandexplanation:applicationofnature,butindirectconvergentsolutionprobabilityintegralvalue;UsethedensityofΓfunctionsaysdistribution;Fdistributioncanbecharacterizedthedensityfunctionanalysisandconclusions.Thesespecificapplicationforfunctionforsolvingsomeofthespecificpracticalproblemsprobabilityhasimportantreferencevalue.Keywords:Gammafunction;Convergence;Probabilityintegral;Densityfunction目录1.Γ函数的定义及主要性质…………………………………………………………（1）1.1Γ函数的定义……………………………………………………………………（1）1.2Γ函数的主要性质………………………………………………………………（2）1.3Γ函数的递推公式………………………………………………………………（2）2.Γ函数在概率问题中的应用………………………………………………………（3）2.1利用Γ函数间接求出概率积分…………………………………………………（3）2.2利用Γ函数表示分布的密度……………………………………………………（4）2.3利用Γ函数求F分布的密度函数………………………………………………（5）3结语…………………………………………………………………………………（6）参考文献………………………………………………………………………………（7）致谢……………………………………………………………………………………（8）1伽马函数在概率统计中的应用在高等数学及概率统计中,经常会看到伽玛函数这个熟悉的名字,但是关于这个函数性质及详细的应用却很少提及,然而这个函数在积分运算中经常起到意想不到的简便效果.也有一些文献讨论它在积分运算和概率统计中的应用,但是篇幅太少,并没有详细的介绍.本文将对这两个函数在概率统计中的应用给出详细的介绍并推导出一些有用的结论.Γ函数是由世界著名数学家欧拉(1729年)最先用含参变量的广义积分定义的特殊函数.它作为一种超越函数具备了丰富和优美的特征,在数字的许多分支中都起着重要作用.概率论及其应用中,计算连续型随机变量的数字特征是一个重要内容,而它最终往往归结为积分的计算..而积分特别是多次分部积分对高等数学学时较少的学生来说是难点,也易产生计算错误..利用Γ函数的特殊性质有效简便地求解概率论中所涉及的具体且复杂的积分表征形式以及函数分布求解、数字特征求解等数学问题,可以避免多次分部积分,大大简化了此类问题的计算.1Γ函数的定义及主要性质本节主要讲述了Γ函数的推导以及其公式,还讲述了一些Γ函数的主要性质以及由Γ函数所推导出来的一些公式,为论文讲述Γ函数在概率统计中的运用打好基础.1.1Γ函数的定义[1]我们回想一下在微积分课程中的一个（广义）积分10log1!nnxdxn(1)(通过分部积分),因而有欧拉表示式101log!ndxnx(2)在等式(2)中做变量代换1logtxtxe,那么就得到0!tnetdtn(3)由此,我们定义Γ函数10tzzetdt,0z(4)我们把定义式(4)称为函数的勒让德表示式.21.2Γ函数的主要性质[1]显然Γ函数是因为求解一个特殊的常微分方程而引出的,但是人们发现它的意义远不止于此,它有着更加重要的意义.接着我们来考虑Γ函数的收敛问题:如果把(4)中的z写成zxiy,那么(4)中的1111coslogsinlogzxiyxiyxtttttytiyt.另一方面,当0x时,广义积分10txetdt是收敛的:当0,1t中时,110txxett,所以1111001100txxxetdttdttx1x,而当t充分大时,121txett,所以11txetdt是收敛的.由此,我们可以得出定理:当Re0z时,广义积分10tzetdt是收敛的.1.3Γ函数的递推公式[2]我们首先来建立Γ函数关于平移的函数方程由Γ函数,对正实数x,用分部积分:01010txtxtxxetdxetextdtxx则我们可以得出定理:当Re0z时,1zzz.下面我们来推导一个Γ函数非常重要的一个结论:11001xnxnnexdxexdx我们用分部积分法来计算这个积分：31000nxnxnxxexdxnexdxe当0x时,00001ne.当x趋于无穷大时,根据洛必达法则,有：!0limlim0nxxxxxnee.因此第一项0nxxe变成了零,所以：101nxxnndxe等式的右面正好是nn.因此,递推公式为：1nnn.由此,我们可以得出结论:对于任何正整数n都有1!nn2Γ函数在概率问题中的应用本节主要讲述了我们在概率运用中所遇到的一些比较复杂的问题,以及如何利用Γ函数的特殊性质有效简便地求解概率论中所涉及的具体且复杂的积分表征形式以及函数分布求解、数字特征求解等数学问题,可以避免多次分部积分,大大简化了此类问题的计算.2.1利用Γ函数间接求出概率积分正态分布是概率统计中的重要分布之一．概率积分是标准正态分布概率密度函数的广义积分.[2]但它的计算或推导是在高等数学的微积分中完成的,推导比较复杂．利用Γ函数可使推导简便有效．先求12的值,在函数1110,10,0nmBmnxxdxmn中,取12mn,则11221112120011242111,1arcsin022dxxBxxdxx4又由Γ函数与函数之间的关系,有21122111,2212B故12又在20xedx中,令2xu则122001112222xuedxeudu2.2利用Γ函数表示分布的密度设~0,1XN,又12,,nxxx设x为的一个样本,它们的平方和记作2x,即222212nxxxx,称为2x服从参数为n的分布,记为22~xxn．2xn分布的概率密度可由Γ函数表示2212210200ynennyyfyy现推导此式.设~0,1zN,则22~1Yxx概率密度为:12210200yyyyeyfy再由2x分布的可加性知22~xxn,即服从自由度为n的2x分布,因为卡方分布是伽玛分布的特例,即21,22nxnGa.根据伽马分布的可加性211~,22xGa,得222110220ynnyeynfy其他2.3利用Γ函数求F分布的密度函数5设12,xx是两个独立的2x变量,其自由度分别是,mn,则称的12xmFxn联合密度是2221122,122mmmnmnmmnfxxyymnn,现推导方差比12xmFxn的分布律.因为12,xx分别服从2xm和2xn的分布,其密度函数为1px和2px,根据独立随机变量商的分布的密度函数公式12xzx的密度函数为:222221112122222200222mmnxmnZZzZpxpxpxdxxedxmn.应用变换212xuZ,可得222110122mnmmnuZzZzpuedumn最后的定积分为伽马函数2mn,从而22121,022mnmZzmnpZzzmn接着来算nFzm的密度函数,对0y,有Fzmmpypynn2212122mmnmnmmmyymnnnn622212122mmnmmnmmnyymnn.即为自由度为nFzmnm的分布律.3结语从以上实例中可以看出,Γ函数简单易学．如能灵活掌握函数的定义和特有性质,可以有效求解概率论中的复杂分布求解、密度函数求解、求解概率积分和数字特征等数学问题,而且可使计算过程大大简化,是一种有效的求解概率论中具体问题的数学方法．并可为相关问题提供求解的方法和参考.有关Γ函数在其他问题中的应用也正在继续探讨之中.,7参考文献[1]谭琳.Γ函数札记[M].杭州:浙江大学出版社.1997.[2]胡淑荣.Γ函数及应用[J].哈尔滨师范大学学报.2002,18(4):12-15.[3]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社.2008.[4](美)M.R斯皮格尔J.希勒R.A.斯里尼瓦桑.孙山泽,戴中维译.概率与统计[M].北京:科学出版社.2002.[5]赵树媛.微积分[M].北京:中国人民大学出版社.2000.[6]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社.2002.[7]赵兴杰.高等代数教学研究[M].西南师范大学出版社,2006：23-35.8致谢转眼间,到了大学即将毕业的时节,时光虽匆匆,但美好往事仍历历在目.作为一名韩山师范学院的学子,我感到特别的荣幸,老师们严谨的治学态度是我学习的好榜样,我也学到了许多知识,感谢母校四年来的栽培.在这里我还要特别感谢屈海东老师,本文从选题到完成开题报告,从中期质量检查报告到论文的顺利完成,都离不开