2008航天器动力学10-摄动理论

2020年4月28日星期二Page1第三章航天器轨道运动的摄动§3.1轨道摄动的原因及处理思路§3.2轨道根数摄动方程§3.3非中心引力场引起的摄动§3.4大气阻力引起的摄动2020年4月28日星期二Page2§3.1轨道摄动的原因及处理思路前面介绍了航天器轨道运动的理想模型－－开普勒轨道。由于各种干扰因素的存在，航天器的轨道不再遵循开普勒运动规律。这些干扰因素包括非均匀的地球引力场大气阻力太阳光压太阳、月球的引力这些干扰因素将使航天器偏离其预期的轨道。但由于这些干扰因素与地球引力相比是微量，这种微小扰动通常称为摄动。2020年4月28日星期二Page3轨道摄动的处理方法1、考威尔方法（Cowell,1910年）基本思想：直接考虑干扰因素和中心万有引力。223ddtrrr二体系统的动力学方程223ddtrrrf附加摄动项在惯性坐标系中，可以写成2020年4月28日星期二Page4优点：该方法简单直观，适用范围广，对摄动项没有什么限制，可同时处理不同的扰动。缺点：由于摄动项远小于地球引力项，为了在计算中反映出摄动的影响，要求计算精度高，积分步长小，运算量大，误差积累可能严重。目前由于计算水平提高，该方法重新得到重视。333xyzxxfryyfrzzfr222rxyz2020年4月28日星期二Page52、恩克方法（Encke,1857年）基本思想：以开普勒轨道为基准轨道，列写航天器偏离此轨道的动力学方程。建立以r为变量的动力学方程：22d()dtrf优点：由于轨道偏差变化缓慢，因此方程积分步长可以较大，计算效率高。缺点：该方程只能适用于小偏差的情况，当时间较长时，应选用新的基准轨道。rρr轨道偏差实际轨迹基准轨道ρrr2020年4月28日星期二Page63、轨道根数摄动方法（欧拉，1748年）基本思想：认为干扰因素远比引力作用小，保留开普勒运动的基本特征，将轨道根数视为缓慢变化的变量。质心位置没有变化，速度有微小的增量航天器在受到冲击后，轨道运动仍为开普勒运动，但轨道根数相应发生微小的变化首先假设，如果航天器在极短的时间内受到冲击此时新的位置和速度决定了新的轨道根数碰撞理论的基本假设2020年4月28日星期二Page7t0轨道根数连续变化第二步，把航天器长时间内连续受到的摄动影响，看成是在离散时间内航天器受到的系列微小冲量。因此，每一时刻航天器都存在一个新的椭圆轨道，这些变化的椭圆轨道就构成了航天器的实际轨道。航天器在受到冲击后，轨道运动仍为开普勒运动，但轨道根数相应发生微小的变化根据前面的结论：2020年4月28日星期二Page8具体在考虑摄动影响时，根据不同摄动因素的特点，可以采用下面两种主要的处理方法。恩克方法（1857年）考威尔方法（1910年）轨道根数摄动方法（欧拉，1748年）在前面的三种方法中，前两种方法偏重于计算，每次计算所得结果不具有一般性；后一种方法偏重于理论分析，所得结论及其近似结果，具有重要的理论意义。因此本课程将重点介绍轨道根数摄动法。小结2020年4月28日星期二Page9如直接求r，就是考威尔方法。因此关键是把表示成轨道根数的函数。r如果摄动力是有势力存在位函数U（势能函数）()URrr势能函数与势力有何关系？地球中心力场的位函数摄动力的位函数UrmrF(,,,,,)aeMirr,xUUFxF拉格朗日行星摄动方程势能V与势能函数U有何关系？()()()()VrUUrUr2020年4月28日星期二Page10如果摄动力是非有势力例如大气阻力把摄动加速度（单位质量的摄动力）分解为相互垂直的三个分量prrnnffffuuu径向横向法向223ddptrrrf通过对轨道积分常数的摄动变化，导出轨道根数变化的高斯形摄动方程。高斯形摄动方程具有普遍性，也可处理摄动力是有势力的情况。横向与切向？切向横向2020年4月28日星期二Page11升交点坐标系NNNOXYZOXYZ建立惯性坐标系O近地点坐标系Oxyz轨道坐标系各轴的单位矢量用该轴字母加上标0表示，如：0NX§3.2轨道根数摄动方程XYZOyxzNXNZNY由于高斯形摄动方程具有普遍性，下面简要介绍2020年4月28日星期二Page12hrv22221Ehervh)2(1222222rvvvrer把速度v在轨道坐标系中分解，得径向速度，横向速度。Oxyzrvv根据轨道积分瞬时扰动引起的轨道摄动XYZOyxzNXNZNYrvv222rvhpp2020年4月28日星期二Page13)2(1222222rvvvrer取乔丹速度变分：)0,0(vr22rvp{sin[(1)cos]}rprerefvfvpp22rvvp碰撞理论的假设2rvrv2prv2020年4月28日星期二Page14力学中有多种变分：“等时变分”－－不考虑时间变化；“乔丹变分”－－不考虑位置变化；“高斯变分”－－不考虑速度的变化。关于变分：2020年4月28日星期二Page15由于扰动不影响航天器质心的位置，因此扰动所引起的轨道平面的转动只可能绕矢径r(或x轴)发生。设受扰动后轨道平面绕x轴的微小角位移为只能由沿z轴的速度增量所引起。δφδφzv0zvvδφxONXeSrxZzifXvzvδφrv轨道平面一定过O、S两点。新轨道平面2020年4月28日星期二Page16与刚体定点运动中的欧拉转角类似，刚体的转动会引起三个欧拉角的变化。而轨道平面的转动也会引起轨道参数的变化。有δφ,,,if0()ifx0NX0Z0z上式统一向轨道坐标系OXYZ中投影，可求出ONXeSrxZzifXvzvδφrv新轨道平面2020年4月28日星期二Page17{sin[(1)cos]}rprerefvfvppvprp21[cos(1)sin]rprffvfvep1[cos(1)sinctgsin]rzprrefvfviveppcoszrivpsinsinzrfvpi具体过程略，参考刘延柱。但符号与刘书中的略有不同。f2020年4月28日星期二Page18轨道根数摄动方程设FP是万有引力之外的摄动力，其引起的单位质量的加速度称为摄动加速度，记为fp。PpmtFvf向轨道坐标系投影，为,,nrrnvvvfffttt2020年4月28日星期二Page19d{sin[(1)cos]}dreprerfffftppd2dpprftd1[cos(1)sincotsin]drnprreffffifteppdcosdnirftpdsindsinnrftpi将前面的轨道根数的增量结果除以，并把变分符号改为微分符号，得到轨道根数摄动方程组：t如果摄动力是时间的函数，则此方程可求解。如果摄动力是位置的函数（有势），则需要改写。2020年4月28日星期二Page20§3.3非中心引力场引起的摄动1、刚体对质点的万有引力场2、地球引力场4、长期摄动影响3、摄动加速度2020年4月28日星期二Page211、刚体对质点的万有引力场Oxyzmdmrr’dFOxyz为刚体的中心主轴坐标系，m为质点，有'rrρ222'2rrrρ设r相对Oxyz的方向余弦为321,,dm在Oxyz内的坐标为x,y,z,则)(321kjirrxyzρijk222123'2rrrxyz2020年4月28日星期二Page22Oxyzmdmrr’dF定义刚体的万有引力场的位函数为：dU'mGr设r把r’近似展开:]2)(321[112232132122rzyxrzyxrrr'222123'2rrrxyz1212222123212'1'rrxyzrrr2020年4月28日星期二Page2321U[1(3)]2GmABCIrmr如果刚体是旋转对称的，利用1232221GmA=B232U[1(31)]2CArmrUr如果刚体是球对称的，利用A=C其中A、B、C为刚体的主转动惯量232221CBAIU积分后为2020年4月28日星期二Page242、地球引力场OrmxyzF设地球为旋转对称体，与赤道平面的夹角为r232U[1(31)]2eCArmr2221U1(3sin1)2eRJrr220.00108263eeCAJmR地球质量扁平分布参数只考虑第1阶2020年4月28日星期二Page253、摄动加速度2221U[1(3sin1)]2eRJrr2223U(3sin1)2eJRr地球引力位函数非中心引力位函数摄动加速度f是摄动力位函数U的梯度，可以在不同的坐标系中表示。()Ufr()xUfx()yUfy()zUfz惯性坐标系2020年4月28日星期二Page26()xUfx以fx为例进行计算2223U(3sin1)2eJRrsinzrrxxr22253131U2ezJRrr22534631315zzrxrrrrx222523()152exxJRUzfxrryxyffx222523352ezzJRzfrr2020年4月28日星期二Page27如果把摄动加速度f的表达式与考威尔方法相结合，就可以积分求卫星在给出初始条件下的运动。223ddtrrrf222523152exxJRzfrryxyffx222523352ezzJRzfrr参考公式2020年4月28日星期二Page28球坐标2224()3(3sin1)2erRUfJrr()0Uf224()3sin22eRUfJr旋转对称rrfff？2020年4月28日星期二Page29卫星轨道坐标系rrffnfrrfff是卫星轨道面与卫星所在子午面的夹角纬线经线卫星轨道fnff2020年4月28日星期二Page302222422242243(3sinsin1)23sinsin223sin2sin2ereenJRfirJRfirJRfircossinnffff纬线经线卫星轨道fnffcoscossinsinsinsincostansin()iif由球面三角形关系，有2020年4月28日星期二Page31把摄动加速度方程与前面轨道根数摄动方程合在一起，2222422242243(3sinsin1)23sinsin223sin2sin2ereenJRfirJRfirJRfir就可以求解d{sin[(1)cos]}dreprerfffftppd2dpprftd1[cos(1)sinctansin]drnprreffffifteppdcosdnirftpdsindsinnrftpi2020年4月28日星期二Page32上述方程组原则上可以求解。但由于严重非线性，只可能进行数值计算，没有解析解。另一方面，由于摄动的影响与万有引力